训练8全称量词与存在量词-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练八全称量词与存在量词 基础练 学考测评 1.(四川峨眉第二中学高一月考)下列命题是 全称量词命题的是 () A.存在一个实数的平方是负数 B.每个四边形的内角和都是360° C.至少有一个整数x,使得x2+3x是质数 D.存在一个实数x,使得x2=x (3)存在一个实数x,使得x2-x+1=0; (4)至少有一个x∈Z,使x能同时被2和3 整除， 2.(北京首都师范大学附属密云中学高一月 考)给出以下命题： ①3x∈Z,x2-2x-3=0;②Vx∈R,x2> 0;③有些自然数是偶数；④3x∈R,x2+x +1≤0. 其中真命题的个数为 () A.1 B.2 C. 3 D.4 3.已知命题p:3x∈R,x2+4x+a=0,若 命题p是假命题，则实数a的取值范围是 () A.0<a<4 B.a>4 C.a<0 D.a≥4 4.已知A={x|1≤x≤2},命题“Vx∈A,x2- a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 () A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 5.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1- 9x)2>0”用"3"写成存在量词命题为 6.对任意x>3,x>a恒成立，则实数a的取 值范围是 7.指出下列命题是全称量词命题还是存在量 词命题，并判断其真假. (1)若x∈{1,3,5},则3x+1是偶数； (2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对 (x,y)都对应一点； 能力练 进移运用 8.(多选)下列全称量词命题中真命题有() A.负数不能开根号 B.对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab C.二次函数 y=x2-ax-1的图象与x轴 恒有交点 D.Vx∈R,y∈R,都有x2+|y|>0. 9.(多选)下列结论中正确的是 A.Vn∈N*,2n2+5n+2能被2整除是真 命题 B.Vn∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是 真命题 C.3n∈N*,2n2+5n+2不能被2整除是 真命题 D.3n∈N*,2n2+5n+2能被 2整除是真 命题 15 ?高中数学·必修 第一册 10.(辽宁名校联盟高一月考)若“Vx∈{x |-2≤x≤1},a-2x≥-1”为假命题，则实 数 a的取值范围为 () A.{a|a<1} B.{a|a>1} C.{a|-5≤a≤3} D.{a|a≥-5} 11.若“3x∈{x|-2≤x≤0},m≥x2+2x- 3”是真命题，则实数 m 的取 值 范围 是 12.已知 p:x2+2x-m>0,如果x=1时，p 是假命题，x=2时，p是真命题，则实数m 的取值范围是 13.已知命题p:Vx∈R,ax2+2x+3≥0;命 题q:3x∈{x|1≤x≤2},使得x2+2x+a ≥0. (1)若命题p是假命题，求实数a的取值范 围； (2)若命题p是假命题，命题q是真命题， 求实数a的取值范围. 创新练 素能增优 14.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m +1≤x≤2m-1},且 B≠O. (1)若命题p:Vx∈B,x∈A是真命题，求 m的取值范围； (2)若命题q:3x∈A,x∈B是真命题，求 m的取值范围. 16 (2)x<3→x<5,但x<5>x<3,∴“x<5”是“x<3”的 必要不充分条件. 若△ABC为钝角三角形，则∠C>90°。 过点B作AC的延长线的垂线，垂足为 D(如图(1)), 由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+ 2·CD·b=a2+b3+2·CD·b>a2+b3,矛盾， 答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件 7.证明①充分性：如果b=0,那么 y=kx, 当x=0时，y=0,函数图象过原点. 故△ABC为锐角三角形，充分性成立. ②必要性：因为 y=kx+b(k≠0)的图象过原点， 必要性：过点 A作边BC的垂线，垂足为 D(如图(2)), 由勾股定理知，c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2 -CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·a<a2+b2.故必 要性成立. 所以当x=0时，y=0,即O=k·0+b,所以b=0. 综上，一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条 件是b=0. 8.ACD x<-2→x2>4,但x2>4→x>2或x<-2,故 A 正确；AB2+AC2=BC2→△ABC为直角三角形，反之，若 故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. D? A△ABC为直角三角形，当 B,C为直角时，不能推出AB2 +AC2=BC2,故B错误；a2+b2≠0→a,b不全为0,反之， C/ a B c b由a,b不全为0→a2+b2≠0,故C正确；当x2为无理数 时，x为无理数，反之不成立，故 D正确.故选 ACD. b/ c B D CA/ a 0<÷4=021成位不平÷c1,9.C 成 立的一个充分不必要条件可以是x>2. 图(1) 图(2) 训练八全称量词与存在量词 10.A 若“父母均为单眼皮”,即父母的基因型都是aa,所 以孩子的基因型也一定是 aa,所以一定有“孩子为单眼 皮”.若“孩子为单眼皮”,则孩子的基因型是aa,但是父 母的基因型可能都是 Aa或一个是 Aa,一个是 aa,所以 父母中有可能有双眼皮，所以“父母均为单眼皮”是“孩 子为单眼皮”的充分不必要条件.故选 A. 1.B 选项 A,C,D中的命题均为存在量词命题；选项B中 的命题是全称量词命题.故选 B. 2.B 当x=-1∈Z时，(-1)2-2×(-1)-3=0,故3x ∈Z,x2-2x-3=0.故①是真命题；当x=0时，x2=0,故 ②不是真命题；2,4是偶数，所以有些自然数是偶数是真 命题，故③是真命题；因为x2+x+1=(x+号)+≥11.解析当m=-2时，y=x2-2x+1,其图象关于直线x =1对称，反之也成立，所以函数 y=x2+mx+1的图象 关于直线 x=1对称的充要条件是m=-2. 答案 —2 亡>0,故④不是真命题。所以真命题的个数为2.故 选 B. 3.B 因为p是假命题，所以方程x2+4x+a=0没有实数 根，即△=16-4a<0,即a>4. 12.解析 对于①,开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时， 开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充 分不必要条件，①正确，对于②,开关A闭合，灯泡B不 一定亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A 闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，②正确.对于③,开 关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合， 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，③正确.对于 ④,开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关 A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充 分也不必要条件，④错误. 答案 ①②③ 4.C 当该命题是真命题时，只需a≥(x2)⋯,x∈A= {x|1≤x≤2}.又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4,所 以 a≥4.因为a≥4+a≥5,a≥5→a≥4,故选C. 5.解析 存在量词命题“存在M中的一个x?,使 p(x?)成 立”可用符号简记为“3x∈M,p(x)”. 答案3x<0,(1+x)(1-9x)2>0 6.解析 由题意{x|x>3}≤{x|x>a},用数轴表示两集合 关系如图，所以a≤3. 13.解由已知条件得m≠0. a3 答案 {a|a≤3}方程①有实数根的充要条件是△=16—4m×4≥0且m 7.解 (1)全称量词命题.≠0,解得 m≤1且m≠0. ∵3×1+1=4,3×3+1=10,5×3+1=16均为偶数，方程②有实数根的充要条件是△=16m2-4(4m2-4m ∴其为真命题. -5)≥0,解得m≥-豆.所以-5<m≤1且m≠0. 因为m∈Z,所以m=-1或m=1. (2)全称量词命题. 任一有序实数对(x,y)都与平面直角坐标系中的点(x, y)唯一对应，其为真命题.当m=-1时，方程①为x2+4x-4=0,无整数根； 当m=1时，方程①为x2-4x+4=0, 方程②为 x2-4x-5=0,均有整数根. (3)存在量词命题. ∵方程x2-x+1=0中，△=1-4=-3<0, ∴x2-x+1=0无实数根， ∴其为假命题. 所以，方程①和②的根都是整数→m=1;反之，m=1→ 方程①和②的根都是整数. 故方程①和②的根都是整数的充要条件为m=1. (4)存在量词命题. 14.解 △ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. ∵6能同时被2和3整除，∴其为真命题. 证明：充分性：若a2+b2>c2,则△ABC不是直角三 角形. 8.ABC :9.CD 当n=1时，2n2+5n+2不能被2整除，当n=2时， 70 2n2+5n+2能被 2整除，所以 AB错误，CD正确.故 选 CD. 10.A 因为Vx∈{x|-2≤x≤1},a-2x≥-1为假命题， 即a<2x—1在x∈{x|-2≤x≤1}上有解，所以a< (2x-1)m·因为(2x-1)mx=2×1-1=1,所以实数a 的取值范围为{a|a<1}.故选 A. 11.解析 因为“3x∈{x|-2≤x≤0},m≥x2+2x-3”是 真命题，则3x∈{x|-2≤x≤0},x2+2x-3-m≤0. 令 y=x2+2x-3-m,则该二次函数图象的对称轴为直 线x=-1,-1∈{x|-2≤x≤0},所以对于方程 x2+ 2x-3-m=0,△=4-4(-3-m)≥0,即m≥-4时，一 定存在x∈{x|-2≤x≤0},满足y≤0.故实数m的取 值范围是m≥-4. 答案 {m|m≥-4} 12.解析 由x=1时，p是假命题，x=2时，p是真命题， 得 解得3≤m<8. 答案 {m|3≤m<8} 13.解 (1)若命题p是真命题，则ax2+2x+3≥0在R上 恒成立.当a=0时，2x+3≥0,不能恒成立；当a≠0时， (0≥9;-12a<0.只需满足 即 所以a≥3. 若 a<子.命题 p 是假命题，则 故 a 的 取 值 范 围 是{a|a<号). (2)若命题q为真命题，则3x∈{x|1≤x≤2},使得 x2 +2x+a≥0,即当1≤x≤2时，y=x2+2x+a的最大值 大于或等于0. 因为二次函数 y=x2+2x+a的图象开口向上，对称轴 为直线x=-1,所以当x=2时，y取得最大值，即22+ 2×2+a≥0,所以 a≥-8, 所以当p假q真时，a<÷且a≥-8,即a的取值范围 为{a|-8<a<}}. 14.解 (1)由于命题 p:Vx∈B,x∈A是真命题， 所以 BCA,B≠0,所以 解得 2≤m ≤3. (2)q为真，则A∩B≠0,因为B≠0,所以m≥2. 所以 训练九全称量词命题和存 在量词命题的否定 1.A 命题“3x∈R,使x2+3x+2<0”的否定是“Vx∈R, 均有x2+3x+2≥0”.故选 A. 2.C 全称命题的否定为存在量词命题.故选C. 3.A 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，Vx ∈R,sinx≤1的否定为：3x∈R,sinx>1,故选 A. 4.C 根据全称量词命题的否定形式可知，命题“Va∈R, 一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是“3a∈R,一 元二次方程x2-ax-1=0没有实根”.故选 C. 5.解析 该命题的否定为存在两个等边三角形，它们不相 似.因为任意的两个等边三角形均相似，所以该命题的否 定为假命题. 答案 存在两个等边三角形，它们不相似 假 6.解析由于命题“存在x<2022,x>a”是假命题，因此其 命题的否定“对任意x<2 022,x≤a”是真命题.所以a≥ 2 022. 答案 {a|a≥2 022} 7.解 (1)该命题的否定：对于任意的整数a,都有a2≠a. 为假命题. (2)该命题的否定：存在实数不可以写成平方和的形式. 为真命题. (3)该命题的否定：存在能写成两个奇数之和的整数不是 偶数.为假命题. (4)该命题的否定：3m>0,方程x2+x-m=0没有实数 根.为假命题. 8.Da,b,c都不小于1,即a≥1,b≥1,c≥1,即a,b,c都大 于或等于1,所以其否定是a,b,c不都大于或等于1,即 a,b,c中至少有一个小于1,即a<1或b<1或c<1.故 选 D. 9.BD 命题“Vx∈R,x2>-1”的否定是“3x∈R,x2≤ -1”,故 A错误；命题“3x∈(-3,+～),x2≤9”的否定 是“Vx∈(-3,+心),x2>9”,B正确；x2>y2?|x|> lyl,|x|>|y|不能推出x>y,x>y也不能推出|x|> ly|,所以“x2>y2”是“x>y”的既不充分也不必要条件， C错误；关于x的方程x2-2x+m=0有一正根一负根 ={0>0·=m<0,所以“m<0”是“关于x的方程， -2x+m=0有一正根一负根”的充要条件，D正确.故 选 BD. 10.解析 写全称量词命题的否定时，要把量词V改为日， 并且否定结论，注意把“且”改为“或”. 答案3n∈N*,f(n)≠N*或f(n)>n +m≤x?≤3,使x?≥11.解析 “对任意2≤x?≤5,存在- Z+m≤x;≤3,x?”为假，则“存在2≤x?≤5,对任意的 解 得音<m≤号. {m|3<m≤3答案 12.解析 根据题意可设 A={1,2,3},B={3,4,5},则 A 与B之间不存在包含关系.因为3∈A且3∈B,所以① ②是假命题；因为1∈A且1∈B,所以③是真命题。综上 可知，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否 定是假命题. 答案 ①② 13.解 两位同学题中实数m的取值范围是一致的. ∵“3x∈R,x2+2x+m≤0”的否定是"Vx∈R,x2+2x +m>0”, 而“3x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题， 71