训练7充要条件-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

训练七充要条件 基础练 1.“x>0”是“x≠0”的 学考测评 () 7.求证：一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象过 原点的充要条件是b=0. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(河南洛阳高一期中)设 A,B是两个集合， 则“AB”是“AUB=B”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设 p:四边形为菱形，q:四边形的对角线互 相垂直，则 p是q的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(河北保定高一月考)设a,b∈R,则“ab+1 =a+b”的充要条件是 () A.a,b都为1 B.a,b都不为1 C.a,b中至少有一个为1 D.a,b都不为0 5.“方程x2—2x—a=0没有实数根”的充要条 件是 6.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充 要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个 合适的填空. (1)“x2-1=0”是“|x|-1=0”的 能力练 避移运用 8.(多选)下列结论中正确的是 () A.“x2>4”是“x<-2”的必要不充分条件 B.在△ABC中，“AB2+AC2= BC2”是 “△ABC为直角三角形”的充要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0” 的充要条件 D.“x为无理数”是“x2为无理数”的必要不 充分条件 9.(北京高一检测)使不等式0<÷<1成立的 一个充分不必要条件是 () A.o<x<÷ B.x>1 (2)“x<5”是“x<3”的 C.x>2 D.x<0 13 ?高中数学·必修 第一册 10.(沈阳铁路实验中学期末)在人类中，双眼 皮由显性基因A控制，单眼皮由隐性基因 a控制，当一个人的基因型为AA或 Aa 时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型 为 aa时，这个人就是单眼皮.随机从父母 的基因中各选出一个 A或者 a基因遗传 给孩子组合成新的基因.根据以上信息，则 “父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的 13.已知m∈Z,关于x的一元二次方程①mx2 —4x+4=0和②x2—4mx+4m2-4m-5 =0,求使方程①和②的根都是整数的充要 条件. () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.函数 y=x2+mx+1的图象关于直线x=1 对称的充要条件是m= 12.(广东佛山高一期中)在下列电路图中，所 (填序号).给说法正确的是_ C B A C B 图(1) 图(2) A B A 创新练 素能培优 14.设a,b,c分别是△ABC的三条边，且a≤b ≤c,则△ABC为直角三角形的充要条件 是a2-b2=c2.试用边长 a,b,c探究 △ABC为锐角三角形的一个充要条件，并 证明. 图(3) 图(4) ①如图(1),开关 A闭合是灯泡 B亮的充 分不必要条件； ②如图(2),开关A闭合是灯泡 B亮的必 要不充分条件； ③如图(3),开关 A闭合是灯泡 B亮的充 要条件； ④如图(4),开关 A闭合是灯泡 B亮的必 要不充分条件. 14 当a<0时，B={x<÷},此时÷<0,满足AnB 来，由x+y≥3和x+y≥2均不能推出x≥1且y≥2,故选项A,B满足题意.若t=4,则p不是q的充分条 =2. 件，如x=1,y=2,满足条件p,但x+y=3<4不满足 q,同理 D也不符合题意.故选 AB.{a|a<÷):综上，实数a的取值范围为 选择③:当a=0时，B=0,CB=R, ∴A∩(CB)=A≠,满足题意； 11.解析 ∵A={1,a},B={1,2,3},A≤B,∴a∈B且a≠ 1,∴a=2或3,∴“a=3”是“A≤B”的充分条件. 答案 充分 当a>0时，B={x|x≥÷},C,B={x|x<÷}, ÷>1,解得0<a<1;要使A∩(CmB)≠0,则- 12.解析因为A是B的充分不必要条件，所以A至B.又 A={x|2a-1<x<2a+1},B={x|x<-3,或 x>1}, 因此 2a+1≤-3或2a-1≥1,所以实数a的取值范围 是a≤-2,或a≥1. 当a<0时，B={x|x≤÷},(,B={x|x>÷), 答案 {a|a≤-2,或a≥1} 13.解 (1)由p是q的充要条件，得 A=B. H<0,An(C?B)=A≠0,满足题意.此时- 综上，实数a的取值范围为{a|a<1}. 因为 A={-1<x<3},B={x|1-m<x<m+1,m>0}, {m+1=3.所以 解得m=2. 训练六充分条件与必要条件 所以正实数m的取值范围是{m|m=2). (2)由p是q的充分不必要条件，得A至B,1.B 由a2=1,得a=±1,所以充分性不成立.由a=1,得 a2=1,所以必要性成立.所以“a2=1”是“a=1”的必要 条件. 解得m>2.所以 2.A 结合选项可知x>1只能推出x>0,其他选项均不可 由x>1推出.故选 A. 所以正实数m的取值范围是{m|m>2}. 14.解 (1)欲使 2x+m<0是x<-1或x>3的充分 条件， 3.A 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形.反之，若 四边形是平行四边形，则四边形不一定是菱形，所以“四 边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条 件.故选 A. {x|x<-2}=(x|x<-1,或x>3),则只要 即只需-2≤-1,所以m≥2.4.AB B项中，x=1→x2=1;C项中，当x=y<0时，√x, √y无意义；D项中，当x<y<0→x2>y2,所以C,D中p 不是q的充分条件. 故存在实数 m≥2,使 2x+m<0是x<-1或x>3的 充分条件. 5.解析 若“x2≠1,则x≠1”的意思是“若x=1,则x2=1”, 易知x=1是x2=1的充分不必要条件，故①不正确；③ 中由xy=0不能推出x=0且y=0,则③不正确；②④ 正确. (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件， 则只要(x|x<-1,或x>3}={x|x<-空),这是不 可能的. 答案 ①③ 故不存在实数m,使“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的 必要条件.6.解析 因为“1<x<3”的必要不充分条件是“a-2<x< a+2”,所以{x|1<x<3}至{x|a-2<x<a+2},所以 [a-2≤1 训练七充要条件 且两个等号不同时取得，解得1≤a≤3.经检a+2≥3 1.A 由“x>0”→“x≠0”,反之不一定成立.因此“x>0”是 “x≠0”的充分不必要条件.验，a=1和a=3均符合要求.故a的取值范围是l≤a ≤3. 2.C 由AUB=B,得A≤B,反之亦成立，则“A≤B”是“A UB=B”的充要条件.故选 C.答案 {a|1≤a≤3} 7.解(1)由a=1,得 p:1<x<4,记集合 A={x 3.A 若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即 p→q;反之，四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一 定是菱形，即q→p.所以p是q的充分不必要条件. |1<x<4},集合 B={x|2<x<4}. 因为B是A的真子集，所以p是q的必要不充分条件. (2)记集合A={x|a<x<4a}, 4.C 因为ab+1=a+b,所以a(b-1)—(b-1)=0,所以 集合 B={x|2<x<4}, (b-1)(a-1)=0,解得a=1或b=1,所以a,b中至少有 (0=,因为p是q的必要条件，所以 BCA,所以 一个为1.故选 C.5.解析 因为方程x2-2x-a=0没有实数根，所以有△= 解得1≤a≤2. 所以a的取值范围为{a|l≤a≤2}. 4+4a<0,解得a<-1,因此“方程x2-2x-a=0没有 实数根”的必要条件是a<-1.反之，若a<-1,则△< 8.A 由已知可得p:x<1,q:x<2a+1.因为p是q的充 分不必要条件，所以2a+1>1,所以a>0,故选 A. 0,方程x2-2x-a=0无实数根，从而充分性成立.故“方 程x2-2x-a=0没有实数根”的充要条件是“a<-1”. 9.B“a=b”→“a-b=0”→“(a-b)c=0”→“ac=bc”, ∴“ac=bc”是“a=b”的必要条件. 答案 a<-1 6.解析(1)x2-1=0?|x|-1=0, 10.AB 由x≥1,y≥2,可得x+y≥3,所以t≤3.但反过 ∴“x2-1=0”是“|x|-1=0”的充要条件； 69 (2)x<3→x<5,但x<5>x<3,∴“x<5”是“x<3”的 必要不充分条件. 若△ABC为钝角三角形，则∠C>90°。 过点B作AC的延长线的垂线，垂足为 D(如图(1)), 由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+ 2·CD·b=a2+b3+2·CD·b>a2+b3,矛盾， 答案 (1)充要条件 (2)必要不充分条件 7.证明①充分性：如果b=0,那么 y=kx, 当x=0时，y=0,函数图象过原点. 故△ABC为锐角三角形，充分性成立. ②必要性：因为 y=kx+b(k≠0)的图象过原点， 必要性：过点 A作边BC的垂线，垂足为 D(如图(2)), 由勾股定理知，c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2 -CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·a<a2+b2.故必 要性成立. 所以当x=0时，y=0,即O=k·0+b,所以b=0. 综上，一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条 件是b=0. 8.ACD x<-2→x2>4,但x2>4→x>2或x<-2,故 A 正确；AB2+AC2=BC2→△ABC为直角三角形，反之，若 故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. D? A△ABC为直角三角形，当 B,C为直角时，不能推出AB2 +AC2=BC2,故B错误；a2+b2≠0→a,b不全为0,反之， C/ a B c b由a,b不全为0→a2+b2≠0,故C正确；当x2为无理数 时，x为无理数，反之不成立，故 D正确.故选 ACD. b/ c B D CA/ a 0<÷4=021成位不平÷c1,9.C 成 立的一个充分不必要条件可以是x>2. 图(1) 图(2) 训练八全称量词与存在量词 10.A 若“父母均为单眼皮”,即父母的基因型都是aa,所 以孩子的基因型也一定是 aa,所以一定有“孩子为单眼 皮”.若“孩子为单眼皮”,则孩子的基因型是aa,但是父 母的基因型可能都是 Aa或一个是 Aa,一个是 aa,所以 父母中有可能有双眼皮，所以“父母均为单眼皮”是“孩 子为单眼皮”的充分不必要条件.故选 A. 1.B 选项 A,C,D中的命题均为存在量词命题；选项B中 的命题是全称量词命题.故选 B. 2.B 当x=-1∈Z时，(-1)2-2×(-1)-3=0,故3x ∈Z,x2-2x-3=0.故①是真命题；当x=0时，x2=0,故 ②不是真命题；2,4是偶数，所以有些自然数是偶数是真 命题，故③是真命题；因为x2+x+1=(x+号)+≥11.解析当m=-2时，y=x2-2x+1,其图象关于直线x =1对称，反之也成立，所以函数 y=x2+mx+1的图象 关于直线 x=1对称的充要条件是m=-2. 答案 —2 亡>0,故④不是真命题。所以真命题的个数为2.故 选 B. 3.B 因为p是假命题，所以方程x2+4x+a=0没有实数 根，即△=16-4a<0,即a>4. 12.解析 对于①,开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时， 开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充 分不必要条件，①正确，对于②,开关A闭合，灯泡B不 一定亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A 闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，②正确.对于③,开 关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合， 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，③正确.对于 ④,开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关 A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充 分也不必要条件，④错误. 答案 ①②③ 4.C 当该命题是真命题时，只需a≥(x2)⋯,x∈A= {x|1≤x≤2}.又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4,所 以 a≥4.因为a≥4+a≥5,a≥5→a≥4,故选C. 5.解析 存在量词命题“存在M中的一个x?,使 p(x?)成 立”可用符号简记为“3x∈M,p(x)”. 答案3x<0,(1+x)(1-9x)2>0 6.解析 由题意{x|x>3}≤{x|x>a},用数轴表示两集合 关系如图，所以a≤3. 13.解由已知条件得m≠0. a3 答案 {a|a≤3}方程①有实数根的充要条件是△=16—4m×4≥0且m 7.解 (1)全称量词命题.≠0,解得 m≤1且m≠0. ∵3×1+1=4,3×3+1=10,5×3+1=16均为偶数，方程②有实数根的充要条件是△=16m2-4(4m2-4m ∴其为真命题. -5)≥0,解得m≥-豆.所以-5<m≤1且m≠0. 因为m∈Z,所以m=-1或m=1. (2)全称量词命题. 任一有序实数对(x,y)都与平面直角坐标系中的点(x, y)唯一对应，其为真命题.当m=-1时，方程①为x2+4x-4=0,无整数根； 当m=1时，方程①为x2-4x+4=0, 方程②为 x2-4x-5=0,均有整数根. (3)存在量词命题. ∵方程x2-x+1=0中，△=1-4=-3<0, ∴x2-x+1=0无实数根， ∴其为假命题. 所以，方程①和②的根都是整数→m=1;反之，m=1→ 方程①和②的根都是整数. 故方程①和②的根都是整数的充要条件为m=1. (4)存在量词命题. 14.解 △ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. ∵6能同时被2和3整除，∴其为真命题. 证明：充分性：若a2+b2>c2,则△ABC不是直角三 角形. 8.ABC :9.CD 当n=1时，2n2+5n+2不能被2整除，当n=2时， 70