第三章函数的概念与性质章末优化提升-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第一册 14.(北京大兴高一期中)设x∈R,[x]表示不超过x 的最大整数，关于函数f(x)=x-[x]有下列 结论： ①f(x)是奇函数；②f(x)的值域为[0,1]; ③f(x)在区间(1,2)上单调递增；④Vx∈R,f(x +1)=f(x). 其中正确结论的序号是_ 15.(山东烟台高一上期中)经过函数性质的学习，我 们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称 图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”. (1)若f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)=2x -1,求f(x)的解析式，并求不等式f(x)>f(2x 一1)的解集； (2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得 到一个真命题：“函数 y=f(x)的图象关于直线 x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a) 为偶函数”.若函数g(x)的图象关于直线x=1 ,g(x)=x2-号.对称，且当x≥1时， ①求 g(x)的解析式 ②求不等式g(x)>g(3x-1)的解集. 章末优化提升 网络构 建 函 数 函数概念 图象法 函数的表示方法 列表法 解析式法 单调性的定义 函数的单调性 单调性的判定方法 函数的性质 单调性的应用奇偶性的定义 函数的奇偶性 奇偶性的判定方法 奇偶性的应用 幂函数 简单的幂函数的定义 简单的幂函数的图象与性质 函数的应用(一) 一次函数模型 二次函数模型 幂函数模型 分段函数模型 64 第三章 函数的概念与性质 *考点聚焦 考点一函数的定义域 [例1](1)函数f(x)==+(3x-1)°的定义 域是 () A.(-一，) B.(言·1) c.(-号) D.(-,})u(言，1) (2)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则 y =f(2x-1)的定义域是 () A.[o.音] B.[-1,4] D.「-3,7-C.[-5,5] Ⅱ规律方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式 有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有 意义，还应考虑使实际问题有意义. (3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应 由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a,b],则 f(x)的定义域 为g(x)在[a,b]上的值域. [注意] (1)f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同. (2)定义域所指永远是自变量的范围. Ⅱ规律方法Ⅱ 函数单调性与奇偶性应用的常见题型 (1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性. (2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间. (3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式. (4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. 口跟踪训练 2.(江西临川一中高一期末)定义在R上的函数 f(x)是单调函数，满足f(3)=6,且 f(x+y)= f(x)+f(y)(x,y∈R). (1)求f(0),f(1); (2)判断 f(x)的奇偶性，并证明； (3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题 中的横线上，并解答： ①Vx∈[号·3];②3x∈[号.3]. 若 ,f(kx2)+f(2x-1)<0,求实数 k的 取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解 答记分. 口跟踪训练 1.(1)f(x)=√2x+3-√2+÷1的定义域 为_ (2)已知函数f(x+2)的定义域为(一3,4),则函 数6(0)-A的定义域为_ 考点二函数的单调性和奇偶性的应用 [例2]已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是 奇函数又是减函数. (1)求证：对任意x?,z?∈[-1,1],有[f(x?)+ f(x?)]·(x?+x?)≤0; (2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值 范围. 考点三函数图象的识别与应用 y=+i![例3] 函数 的图象大致为 () ty y 24 O 1 x ON A y -2 0 1 B 42 0/ x C D 65 ?高中数学·必修 第一册 Ⅱ规律方法||⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 函数是中学数学的重要内容，函数的解析式和图象 是描述函数的两种手段和方式，各有侧重，解析式可以理 解为是自变量的精确表达式，图象则可以看出函数的奇 偶性、函数的单调性和函数值的正负.可以通过对解析式 的有关计算验证函数图象所展现的性质，也可以通过特 殊值法得到正确答案，这是解决此类问题的两种常见思 路，有利于不同能力的学生的发展，对学生的数形结合思 路及推理论证能力做了较为深入的考查. 口跟踪训练 3.定义运算aON=|24-)2, 设函数f(x)=x ×(x+1),则该函数的图象应该是 () ty ty ty ty 小 、 古0 0 G x x0 -1 A B c D 考点四函数的应用 Ⅱ规律方法|Ⅱ 解与函数有关的应用题的基本步骤可用框图表 示为： 分析、联想实际问题 函数模型 抽象、转化 回答 数学 推演 还原实际结果 数学结论 口跟踪训练 4.某市现有从事第二产业人员100万人，平均每人 每年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从 中分流x万人去加强第三产业.分流后，继续从事 第二产业的人员平均每人每年创造产值可增加 2x?<x<100),而分流出的从事第三产业的人 员，平均每人每年可创造产值1.2a万元.在保证 第二产业的产值不减少的情况下，分流出多少人， 才能使该市第二、三产业的总产值增加最多? [例4] 某汽车以x千米/时的速度在高速公路上 匀速行驶(高速公路行车安全要求 60≤x≤120) 时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 ÷(x-k+450):升，其中k为常数，且 60≤k ≤100. (1)若该汽车以120千米/时的速度行驶，每小时 的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9 升，求x的取值范围； (2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值. 提示。请完成《素能提升训练》章末检测卷三 66 12.解 (1)f(x)在(0,+心)上单调递增.理由如下： 因为f(x)的定义域为(0,+~),不妨取任意xi,x?∈ (0,+~),且x;<x;,则>1,由题意知f(尝)= f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?),所以 f(x)在(0, +～)上单调递增. (2)因为m,n≠0,令m=,由f(M)=f(m)-f(n) f(m)=f()=f(mn)-f(n),即 f(mm)=可得J f(m)+f(n).由f(2)=1,可得f(4)=f(2)+f(2)= 2,令m=4,n=2,则 f(8)=f(4)+f(2)=3. 所以不等式f(x+3)-f(3x)>3,即 f(x+3)-f(3x) >f(8),即f(2)>f(8) 由(1)可知 f(x)在定义域内单调递增，所以只 x+3>n,解将D<x<盖，需 x+3>8, (0.离).所以不等式 f(x+3)-f(3x)>3的解集为 题型五 13.解析 对于选项 A,由条件(1)知，f(x)≥0, 则f(O)≥0,由条件(2)知，f(0+0)≥f(0)+f(0),即 f(0)≤0,所以 f(0)=0,A正确； 对于选项 B,当 f(x)=0(x∈(0,+≈))时，符合条件 (1),(2),f(x)是“Ω函数”,但f(x)在(0,+)上不是 增函数，B错误； 对于选项C,取x=2-√2,y=2+√2,则g(2-√2)=1, g(2+√2)=1,g[(2-√2)+(2+√2)]=g(4)=0,不满 足g(x+y)≥g(x)+g(y),所以g(x)不是“Ω函数”,C 错误； 对于选项 D,g(x)=x2+x在(0,+~)上单调递增，所 以g(x)≥g(0)=0,满足条件(1),g(x+y)-g(x)一 g(y)=[(x+y)2+(x+y)]-(x2+x)-(y2+y)= 2xy,当x≥0,y≥0时，2xy≥0,此时g(x+y)≥g(x)+ g(y),满足条件(2),D正确.故选 AD. 答案 AD 14.解析 因为当x=-0.5时，[x]=-1,[-x]=0,所以 f(x)=0.5.而f(-x)=0.5,所以f(-x)≠-f(x),所 以①错误；因为O≤x—[x]<1,所以 f(x)≠1,所以② 错误；因为在区间(1,2)上，f(x)=x-[x]=x-1,所以 f(x)在区间(1,2)上单调递增，所以③正确；因为f(x+ 1)=x+1-[x+1]=x+1-([x]+1)=x-[x]= f(x),所以④正确. 答案 ③④ 15.解(1)设x>0,则一x<0,则f(-x)=2·(一x)-1 =-2x-1, 又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)=-2x-1. 所以f()={=2??。 因为f(x)为偶函数，且f(x)在(0,+～)上是减函数， 所以 f(x)>f(2x-1)等价于|x|<|2x-1|, 即x2<(2x-1)°,解得x<÷或x>1. {x<专或x>1}.所以不等式的解集是 (2)①因为g(x)的图象关于直线x=1对称，所以函数 g(x+1)为偶函数， 所以 g(1+x)=g(1-x),即g(x)=g(2-x) 对任意x∈R恒成立. 叉当x<1时，2-x>1, 所以g(x)=g(2-x)=(2-x)2-z-=x2-4x+4 +二2 所以 ②任取x?,x?∈[1,+~],且x?<x?,则 g(x?)-g(x?)=x2-÷-(x2-÷)=(x?-x)(x?+ x+) 因为x?<x?,所以x?-x?<0. 又π+x?>0,?x>0, 所以(x?-x:)(x?+x+z)<0. 即 g(x?)<g(x?). 所以函数 g(x)在(1,+～)上是增函数. 又因为函数g(x)的图象关于直线x=1对称， 所以g(x)>g(3x-1)等价于|x-1|>|3x-2|, 2<x<2.即(x-1)2>(3x-2)2,解得 {=|}<x<÷}.所以不等式的解集为 章末优化提升 考点聚焦 考点一 1%.[例1] (1)D 由题意得， 解得x<1且x≠号. (2)A 设u=x+1,由-2≤x≤3,得-1≤x+1≤4, 所以 y=f(u)的定义域为[-1,4]. 再由-1<2x-1<4,解得O≤x<吾， [0.号].即函数 y=f(2x-1)的定义域是 跟踪训练 1.解析 (1)要使该函数有意义，只需 解得一号≤x<2且x≠0,所以该函数的定义域为 {x|-≥≤x<2且x≠0}. (2)因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4),所以f(x)的 x>号，定义域为(-1,6).又因为3x-1>0,即 ,所以函数 (÷,6).g(x)的定义域为1 (1){x|-2≤x<2且x≠0}(2)(子，6)答案 27 考点二 ∴g(x)=g(÷)=0,∴k<0 [例2] [解](1)证明 若x?+x?=0,显然不等式成立. 考点三若x?+x?<0,则-1≤x?<-x?≤1, 因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数， 所以f(x?)>f(-x?)=-f(x?), 所以f(x?)+f(x?)>0. [例3] A 令 f(x)=·,则 f(x)的定义域为R,且 f(-x)=二41=-f(x),因此，函数为奇函数，排除所以[f(x?)+f(x?)](x?+x?)<0成立. 若x?+x?>0,则l≥x?>-x?≥-1, 同理可证 f(x?)+f(x?)<0. C.D.当x=1时，f(1)=专=2,排除 B.故选A. 跟踪训练所以[f(x?)+f(x?)](x?+x?)<0成立. 综上得证，对任意x?,x?∈[-1,1], 有[f(x?)+f(x?)]·(x?+x?)≤0恒成立. 3.c 由a80的定又，可知fu)-{5-1a20, 由于f(0) =0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除 A,B;当 x<0时，y=x2>0,排除 D,只有C符合，故选 C. (2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a2)<-f(1-a) =f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数， 得 解得O≤a<1. 故所求实数a的取值范围是(0,1). 考点四 .号(x-k+[例4][解](1)由题意得当x=120时， 430)=号(120-k+4120)=11.5,解得k=100. 跟踪训练 ÷(x-100+450)2.解 (1)取x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y),即f(y)= 欲使每小时的油耗不超过9升，则 f(0)+f(y),∴f(0)=0. ≤9,即x2-145x+4500≤0,解得45≤x≤100. ∵f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)= 又60≤x≤120,所以60≤x≤100,故欲使每小时的油耗 3f(1),又∵f(3)=6,∴3f(1)=6,则 f(1)=2. 不超过9升，x的取值范围为[60,100]. (2)∵函数f(x)是定义在R上的函数，定义域关于原点 对称，取y=-x,得 f(0)=f(x+(-x))=f(x)+ (2)设该汽车行驶100千米的油耗为y升， 则 y=00·号(x-k+4x2)=20-2Q+0(6o<f(一x)=0,移项得f(-x)=—f(x),∴函数f(x)是奇 函数. x≤120). (3)若选条件①. 令1=÷,则∈[20·高],∵f(x)是奇函数，且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈ [号3] (1-9)+20-.则 y=90 000t2-20kz+20=90 000· t=90·其图象的对称轴为直线 上恒成立，∴f(kx2)<f(1—2x)在x∈ [÷3]上恒成立 ∵f(0)=0<f(1)=2,且f(x)是R上的单调函数， ∴f(x)在R上是增函数，∴kx2<1-2x在x∈ [去·3]上临成立，即k<(云)-2(号)在x [2·3]」上恒成立. goo∈[].①若5≥由60≤k≤100,可得； 1120,即 75≤k≤100,则当t=90o0,即x=9时，y取 20-;②若50o<120,即60≤k<75,得最小值，为 令g(x)=(÷)-2(÷)=(÷-1)'-1. :2≤x<3∴3≤1≤2∴g(x)=g(1)=-1, 则当1=120, -合,即x=120时，y取得最小值，为 综上，当75≤k≤100时，该汽车行驶 100千米的油耗的 (20-5)最小值为 升；当 60≤k<75时，该汽车行驶 (一合)100千米的油耗的最小值为 )升. 跟踪训练 ∴k<-1. 若选条件②. ∵f(x)是奇函数，且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈ [2·3]上有解∴f(kx2)<f(1-2x)在x∈[2,3]上 有解. 4.解 设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减少，必 须满足(100-x)·a·(1+2x???100a, ∵f(0)=0<f(1)=2,且f(x)是R上的单调函数， ∴f(x)在R上是增函数，∴kx2<1-2x在x∈ [2·3]上有解， 因为a>0,x>0,可解得0<x≤50. 设该市第二、三产业的总产值增加f(x)万元， 则 f(x)=(100-x)·a·(1+2x?1.2ax-100a =-0.02a(x2-110x) ∴k<(÷)-2(÷)在x∈[号.3]上有解. 令g(x)=(÷)-2(÷)=(÷-1)-1. ∵÷≤x<3∴}<÷≤2, =-0.02a(x-55)2+60.5a. ∵x∈(0,50),∴f(x)在(0,50)上单调递增， ∴当x=50时，f(x)mx=60a, 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出50 万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多. 28