3.2.2 奇偶性-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第一册 3.2.2奇偶性 第1课时函数奇偶性的概念 AI得学助手 直新若智 配音答案 盖 [学习任务] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点函数的奇偶性 1.偶函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为 D,如果 Vx∈D,都有 ,且 ,那么函数 f(x)就叫做偶函数. (2)图象特征：图象关于 对称. 2.奇函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为 D,如果 Vx∈D,都有 _,且 ,那么函数 f(x)就叫做奇函数. (2)图象特征：图象关于 _对称. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=2+2; (2)f(x)=x3-2x; (3)f(x)=x2+1; (4)f(x)=√x2-I+√1-x2. 川规律方法|Ⅱ 判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法 (2)图象法 关于原点对称} f(x)为奇函数]f(x) 的图象 关于y轴对称 f(x)为偶函数 [注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨 论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式. 口跟踪训练 1.(1)下列函数是偶函数的是 A.f(x)=2|x|-1,x∈[-1,2] B. f(x)=x2+x C. f(x)=x3 D.f(x)=x2,x∈(-1,0)U(0,1] (2)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)=x3+x?; ②f(x)=|x+1|+|x-1|; ⑧f(x)=+2. () 确定定 义域 定义域关 于原点对称 是 计算R-x) 否， 既不是奇函数 也不是偶函数 确定f(x)与f(-x)的关系 结论 52 第三章 函数的概念与性质 探究二 奇偶函数的图象问题 [例2]已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函 数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x.现已画出函数 f(x)在y轴及其左侧的图象，如图所示. ty -4 -2 -2 o :2 规律方法川 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在[0,+～](或(一～,0])上对应的 图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称，得出在 (一～,0)(或[0,+～))上对应的函数图象. [注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发， 点(x?,y?)关于原点的对称点为(一x?,-yo),关于y轴 的对称点为(一x?,y). (1)请补出完整函数 y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 口跟踪训练 2.(1)奇函数y=f(x)的局部图象如图①所示，则 f(2)与 f(4)的大小关系为 _ yt yt 92 3 26 -4 -2 0 0 x2 ?变式训练 1.(变问法)本例条件下，y取何值时，有四个不同的 x值与之对应? 图① 图② (2)已知f(x)是定义在(-2,0)U(0,2]上的奇函 数，当x>0时，f(x)的图象如图②所示，那么 f(x)的值域是 探究三利用函数奇偶性的定义求参数 [例3](1)若函数 f(x)=(2x+1)(x-a)为奇函 数，则a等于 ( A. B.音 c.章 D.1 (2)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定 义域为[a-1,2a],则a= ,b= 2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变，如何解答本题? Ⅱ规律方法Ⅱ 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇(偶)函数f(x)的定义域为 [a,b],根据定义域关于原点对称，利用a+b=0求 参数. (2)解析式含参数：根据f(-x)=-f(x)或f(一x) =f(x)列式，再利用待定系数法求解. ?跟踪训练 3.(1)若函数f(x)=2x2-|3x+al为偶函数，则a 等于 () A.1 B.2 C. 3 D.0 ro)-{m+c>(2)已知函数 是奇函数， 则a= 提示，请完成《素能提升训练》训练二十二 53 ?高中数学·必修 第一册 第 2 课时函数奇偶性的应用 [学习任务] 1.掌握函数奇偶性的简单应用.(重点) 2.能够应用函数的奇偶性和单调性解决相关问题.(重点、难点) 互动探究解疑难 探究一利用函数的奇偶性求解析式 [例1] 已知函数y=f(x)的图象关于原点对称，且 当x>0时，f(x)=x2-2x. (1)求 f(x)在R上的函数解析式； (2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出它的 单调区间. 2.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥ 0时，f(x)=-x2+2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图象； (3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及 值域. Ⅱ规律方法Ⅱ 利用函数的奇偶性求函数的解析式 (1)已知某区间上的函数解析式，求对称区间上的 函数解析式，解题方法是设这个区间上的变量为x,然后 把x转化为一x,此时一x成为了已知区间上的解析式 中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义进行推导， 即可得所求区间上的函数解析式. (2)已知函数f(x),g(x)的组合运算与f(x),g(x) 的奇偶性，求f(x),g(x)的解析式，则把x替换为一x, 构造方程组即可求解. 口跟踪训练 1.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x) =2x+x2,求函数 f(x),g(x)的解析式. 探究二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 [例2] 已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在[0, +～)上单调递增，则 f(-2),f(π),f(-3)的大 小关系是 (; A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) Ⅱ规律方法⋯ 利用函数的奇偶性与单调性比较大小的方法 (1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单 调性比较大小. (2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇 偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性 比较大小. 54 第三章 函数的概念与性质 ?变式训练 1.(变条件)若将本例中的“单调递增”改为“单调递 减”,其他条件不变，则f(-2),f(π),f(-3)的大 小关系如何? ?变式训练 3.(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”, 把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变，求 实数 m的取值范围. 2.(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”, 其他条件不变，比较这三个数的大小. Ⅱ规律方法|Ⅱ 利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤 (1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小 关系. (2)由已知或利用奇偶性得出区间上的单调性，再 利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”,转化为解不等 式(组)的问题. [注意] 在转化时，自变量的取值必须在同一单调 区间上；当不等式一边没有写成“f(x)”的形式时，需转 化为“f(x)”的形式，如0=f(1),f(x-1)<0,则 f(x-1)<f(1).注意偶函数f(x)中结论“f(x)=f(|x|)”的 灵活运用. 探究三 利用函数的单调性和奇偶性解不等式 [例3] 已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在 区间[0,2]上单调递减，若f(1-m)<f(m),求 实数 m的取值范围. 口跟踪训练 3.(1)已知偶函数f(x)在区间(0,+～)上单调递 减，求满足f(2x-1)>f(子)的实数x的取值 范围. (2)已知函数y=f(x)是偶函数，且在区间[0, +～)上单调递减.若 f(a)<f(2),求实数a的取 值范围. 提示，请完成《素能提升训练》训练二十三 55 牛刀小试 探究二 1.D 易知f(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2的图象的 [例2] [解](1)由题意作出完整函数图象如图： 对称轴为直线x=1,开口向下，且0≤x≤3,∴当x=1 时，f(x)取得最大值，当x=3时，f(x)取得最小值，∴m y =f(1)=2,n=f(3)=-2,故m+n=0. 2.C 由己知可得函数图象的对称轴为直线x=1,且函数 在区间(2m,m+1)上单调，则2m≥1或m+1≤1,解得m 0 法2 -1 >去或m≤0.又2m<m+1,所以m<1,所以÷≤m<1 (2)据图可知，单调递增区间为(-1,0),(1,+). 或 m≤0. (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)U (0,2). t<=21=0.故3.B若f(x)的最大值为 f(1),则 变式训练 f(-1)=3t-1≤-1<0,故 f(-1)一定是负数. 1.解 结合图象可知，满足条件的y的取值范围是(-1,0). 2.解 (1)由题意作出函数图象如图所示： 3.2.2奇偶性 4| 第1课时函数奇偶性的概念 2 2 【自主学习探新知】 25 o 知识点 1.(1)-x∈D f(-x)=f(x)(2)y轴 2.(1)-x∈D f(-x)=-f(x)(2)原点 【互动探究解疑难】 (2)由图可知，单调递增区间为(-1,1). 探究一 (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)U (2,+～).[例1] [解](1)函数的定义域为(-,-1)U(-1,+~), 不关于原点对称，故函数 f(x)既不是奇函数，又不是偶 函数. 跟踪训练 2.解析(1)因为奇函数的图象关于原点对称，所以 f(2) =-f(-2),f(4)=-f(-4),由函数图象可知 f(-2) (2)函数的定义域为R. <f(-4),所以一f(-2)>-f(-4),即 f(2)>f(4). ∵f(-x)=(一x)3-2(-x)=-(x3-2x)=-f(x), ∴函数 f(x)=x3-2x是奇函数. (2)利用奇函数图象的性质可以得到函数 f(x)在[-2, 0)上的图象，如图所示，利用图象得到函数f(x)的值域 (3)函数的定义域为R. 为(-3,-2)U(2,3]. 法- ∵f(一x)=(-x)2+1=x2+1=f(x), ∴函数 f(x)=x2+1是偶函数. y 法二 画出y=x2+1的图象如图，由图 可知其图象关于y轴对称. 故函数 f(x)=x2+1是偶函数. yt 3 29 -2: 0 2 x (4)∵函数的定义域为{—1,1}且 f(x) -2=0,f(-1)=0,f(1)=0, 1 -3 ∴f(-1)=f(1)且f(-1)=-f(1). 0 ∴函数 f(x)=√x2-1+√1-x2既是 奇函数，又是偶函数. 答案 (1)f(2)>f(4)(2)(-3,-2)U(2,3] 探究三 跟踪训练 x≠-号，且x[例3] [解析] (1)要使函数式有意义，则 1.(1)D 对于A,函数 f(x)=2|x|-1,x∈[-1,2],定义 域不关于原点对称，不具有奇偶性，A选项错误；对于B, 函数 f(x)=x2+x,则f(1)=2,f(-1)=0,易知f(-1) ≠a,而函数 f(x)为奇函数，所以其定义域应关于原点对 称，由此得a=言，经验证，当a=立时，画数f(x)是奇 函数.≠f(1),则函数f(x)不是偶函数，B选项错误；对于C, 函数 f(x)=x3,定义域为R,f(-x)=(-x)3=-x3= 一f(x),函数 f(x)是奇函数，C选项错误；对于D,函数 f(x)=x2,x∈(-1,0)U(0,1],定义域关于原点对称， f(-x)=(一x)2=x2=f(x),函数f(x)为偶函数，D选 项正确.故选 D. (2)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a-1=-2a,解得a=号 又因为函数 f(x)=号x2+bx+b+1为二次函数，结合 偶函数图象的特点，易得b=0. (2)解 ①函数的定义域为R.∵f(-x)=(-x)3+ (-x)?=-(x3+x?)=-f(x),∴f(x)是奇函数. ②f(x)的定义域是R.∵f(-x)=|-x+1|+l-x-1| =|x-1|+|x+1|=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)言0[答案](1)A 跟踪训练 3.解析(1)∵f(x)=2x2-|3x+a|为偶函数， ③函数 f(x)的定义域是(-,-2)U(-2,+～),不关 ∴f(-x)=f(x)对于任意x∈R都成立. 于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数. ∴f(-1)=f(1),即2-|a-3|=2-|a+3|,解得a=0. 22 故选 D. (2)因为f(x)为奇函数，所以f(-1)+f(1)=0,即(a- 1)+(-1+1)=0,故a=1. 答案 (1)D (2)1 第 2 课时函数奇偶性的应用 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)∵f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)是 奇函数，∴f(-x)=—f(x). 又 f(x)的定义域为R,∴f(0)=-f(0),解得f(0)=0. 设x<0,则一x>0.∵当x>0时，f(x)=x2-2x, ∴f(-x)=(一x)2-2(-x)=x2+2x=-f(x), ∴当x<0时，f(x)=-x2-2x, (2)由(1)可得f(x)的图象如图所示. y4 -2/ 21 2 专 -2 由图象可知 f(x)的单调递增区间为(一～,-1),(1, +～),单调递减区间为(-1,1). 跟踪训练 1.解 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x). 由f(x)+g(x)=2x+x2, ① 用一x代替x得f(-x)+g(-x)=-2x+(-x)2, 所以 f(x)-g(x)=-2x+x2. ② (①+②)÷2,得 f(x)=x2. (①-②)÷2,得g(x)=2x. 2.解 (1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数， 所以 f(x)=f(一x). 当x<0时，-x>0, yt 2- 所以 f(x)=f(-x)=-x2 -2x. -2 2 王 *上，o-1二 -2 (2)函数 f(x)的图象如图 所示： (3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[-1,0], (1,+～),函数f(x)的值域为(-～,1]. 探究二 [例2] A∵f(x)在R上是偶函数，∴f(-2)=f(2), f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在区间(0,+)上单 调递增，∴f(2)<f(3)<f(π),∴f(-2)<f(-3)< f(π).故选 A. 变式训练 1.解 因为f(x)在[0,+心]上单调递减， 所以有f(2)>f(3)>f(π). 又因为 f(x)是R上的偶函数， 所以 f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 从而有f(-2)>f(-3)>f(π). 2.解 因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0,+~]上 单调递增，所以函数在R上是增函数. 因为-3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π). 探究三 [例3][解] 因为f(x)在区间[—2,2]上为奇函数，且在 区间[0,2]上单调递减，所以f(x)在区间[-2,2]上单调 递减. 又f(1-m)<f(m),所以 解得-1≤m<去.即 [-1.÷].故实数m的取值范围是 变式训练 3.解因为函数为[—2,2]上的偶函数，函数在区间[-2, 0]上单调递减，所以函数在区间[0,2]上单调递增， 原不等式可化为f(|1-m|)<f(|m|), 故可得 解得- 即 ÷<m≤2.故实数m的取值范因为((去：2). 跟踪训练 3.解 (1)因为偶函数f(x)在区间(0,+心)上单调递减， 且满足f(2x-1)>f(号),,所 以 不等式 等 价 头 f<12x-1D>f(号),即12x-11<号，所以-÷<2x- 1<号，,计算得出号<<号，,故x的取值范围是 (子号). (2)∵y=f(x)是偶函数， ∴f(a)=f(|a|). 又|a|≥0,且f(la|)<f(2), ∴|a|>2,即a>2或a<-2. ∴实数a的取值范围是(-～,-2)U(2,+). 3.3幂函数 【自主学习探新知】 知识点一 y=x°x a 知识点二 (0,+～)(-～,0)U(0,+～)[0,+心] (0,+～)(一～,0)U(0,+～) 奇函数 偶函数 奇 函数 非奇非偶函数 奇函数 在区间(一～,0)上单调 递减，在区间(0,+心)上单调递增 在区间(一～,0)上 单调递减，在区间(0,+～)上单调递减 (1,1) 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] (1)B ②中系数不是1,③中解析式为多项式，④ 中底数不是自变量本身，所以只有①⑤是幂函数，故 选 B. (2)[解]∵y=(m2-m-1)x"-2m-3为幂函数， ∴m2-m-1=1, 解得m=2或m=-1. 当m=2时，m2-2m-3=-3,则y=x3,且有x≠0; 当m=-1时，m2-2m-3=0,则y=x°,且有x≠0. 23