2.1 等式性质与不等式性质-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 AI样学助手 直规若智 配音答基 全盖梳到 益蒲补缺 [学习任务] 1.结合具体实例了解什么是不等式.(重点) 2.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(难点) 3.了解重要不等式.(重点) 4.会用作差法或作商法比较两个数或式的大小.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一不等关系与不等式 1.不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这 些_ ,叫做不等式. 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于、 高于、 超过 小于、 低于、 少于 大于 或 等 于、至 少、 不低于 小于或 等 于、至 多、 不多于、不 超过 符号 语言 ——— 知识点二比较实数a,b大小的基本事实 1.文字叙述 如果a—b是正数，那么a b;如果 a-b 等于0,那么a b;如果a-b是负数，那么a _b.反过来也对. 2.符号表示 a b?a-b>0;a b=a-b=0;a b?a-b<0. 知识点三重要不等式 一般地，Va,b∈R,有a2+b2 当 时，等号成立. 2ab,当且仅 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一用不等式(组)表示不等关系 [例1](链接教科书第40页练习1题)(1)某车工 计划在15天里加工零件 408个，最初三天中，每 天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个 零件，才能在规定的时间内超额完成任务?列出 解决此问题需要构建的不等关系式； (2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2, 设靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的 不等关系 22 第二章 一元二次函数、方程和不等式 川规律方法Ⅱ 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤 (1)审题：通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待 求量； (2)列不等关系：列出待求量具备哪些不等关系(即满足 什么条件); (3)列不等式(组):挖掘题意，建立已知量和待求量之间 的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件). 口跟踪训练 2.(1)若x<1,试比较M=x2+x与N=4x-2的 大小. (2)已知a≥1,试比较M=√a+I-√a和N=√a 一√a—1的大小. 口跟踪训练 1.(辽宁大连市第八中学期中)某学生期中数学成绩 x不低于90分，英语成绩y和语文成绩≈的总和 高于200分且不高于240分，用不等式组表示为 () 2+g<20x>90,A. B.200<y+z<24C 120<+e2x>90,C. D.{200≤y+x≤240 探究二比较两个数(式)的大小 +与+[例 2]已知a,b为正实数，试比较 √万的大小 Ⅱ规律方法Ⅱ 比较两个实数的大小，基本方法有作差法、作商法、 平方法，如下表： 作差法 作商法 平方法 依据 a-b>0? a>b; a-b=0? a=b; a-b<0? a<b a>0,b a<0.1 >0,则 <0,则 s>1= 方>1= a2>b,日 a>b;方 a<b;方 a>0,b> =1?a =1?a 0→a>b =b;方 =b;2 ≤aSa 应用范围 若数(式)的 符号不明显， 作差后可化 为 积、商 的 形式 要 比 较 的 同号的两数(式)比较 两数(式) 大小 中有根号 步骤 ①作差； ②变形； ③判断差与0 的大小关系； ④下结论 ①作商； ②变形； ①平方； ③判断商与1的大小 ②用作差法 关系； 或作商法 ④下结论 教材 不等式的实际应用 拓 展 [例] 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前 往.甲车队说：“如领队买一张全票，其余人可享受 7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票，按原价 的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都一样，试 根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更 优惠. [解] 设该单位职工有n人(n∈N),全票价为x 元，坐甲车需花 y?元，坐乙车需花y?元， 则y?=x+2x·(n-1)=÷x+3mx. y?=号mx. y?-y?=÷x+2mx-≤mx因为 =÷x-20=÷x(1-号). 当 n=5时，y?=y? 当n>5时，y?<y?;当n<5时，y?>y?. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同； 多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙 车队更优惠. Ⅱ素养提升Ⅱ 现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解 题思路是将要解决的问题转化成不等关系，利用作差法 比较大小，进而解决实际问题. □牛刀小试 某公司有20名技术人员，计划开发A,B两类共 50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值 如下： 电子器 件种类 每件需要 人员数 每件产值 (万元/件) A类 12 7.5 B类 1s 6 今制订计划欲使总产值最高，则 A类电子器件应 开发 件，最高产值为 万元. 提示、请完成《素能提升训练》训练十 23 ?高中数学·必修 第一册 第 2 课时等式性质与不等式性质 [学习任务] 1.知道等式和不等式的共性与差异，掌握等式和不等式的性质.(重点) 2.能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单的不等式.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点等式性质与不等式的性质 1.等式的基本性质 性质1如果a=b,那么 _ 性质2 如果a=b,b=c,那么 性质3 如果a=b,那么 ; 性质4 如果a=b,那么 _; 性质5 如果a=b,c≠0,那么 2.不等式的性质 性质1 如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a >b.即 a>b=b<a. 性质2 如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c→ 性质3 如果a>b,那么a+c>b+c.推论：a+b >c→ 性质4 如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b, c<0,那么 性质5 如果a>b,c>d,那么_ 性质6如果a>b>0,c>d>0,那么 性质7 如果a>b>0,那么d">b°(n∈N,n≥2). 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 利用不等式的性质判断命题的真假 [例1](多选)对于实数a,b,c,下列结论正确的是 () A.若a,b∈R,且a>b,则a3>b3 B.若a<b<0,则a2>ab>b2 C.若a>b,>方，则 a>0,b<0 D.若a<b<0,则名>方 川规律方法|Ⅱ 利用不等式的性质判断正误的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关 性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出 一个反例即可. (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是 满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所 取的值要有代表性. 探究二利用不等式性质证明不等式 [例2] (1)已知a>b,e>f,c>0.求证：f-ac<e-bc. “t?<(2)若bc-ad≥0,bd>0.求证： 口跟踪训练 1.(1)下列命题中，正确的是 () A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a<b C.若a>b,c>d,则a-c>b-d 2<5.则a<bD.若 (2)(多选)设a,b是非零实数，若a<b,则下列不 等式不成立的是 () A.a2<b B.ab2<a2b c.方< D.A<节 Ⅱ规律方法⋯⋯ 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等 式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不 等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不 等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导， 更不能随意构造性质与法则. 24 D跟踪训练 :分<+m;2.(1)设b>a>0,m>0,证明： 1<z+g+y+(2)设x>0,y>0,z>0,证明： 之 十 <2.z十x 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.(变条件)若将本例条件改为-1<x+y<4,2<x -y<3,求 3x+2y的取值范围. 探究三 利用不等式性质求代数式的取值范围 [例3]已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围； (2)求3x+2y的取值范围. Ⅱ规律方法|Ⅱ ⋯ 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关 系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这 种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种 转化，就有可能扩大其取值范围. ?变式训练 1.(变条件)若将本例条件改为-1<x<y<3,求x 一y的取值范围 易 错 忽略不等式性质成立的条件 警 示 A<方；②[例1] 给出下列命题：①若a<b,c<0,则 若ac3>bc3,则a>b;③若a>b且k∈N*,则a> t;①若>a>b>0.则二>。其中正确命题的 序号是 [错解]①∵a<b.∴>方.又c<0,∴=<方， 故①正确. ②当 c<0时，a<b,故②不正确. ③正确. ①由c>a>b>0知，c-a>c-b>0,∴0<-a <二· 故二<二5<,收①不正确，故填①③. [错因分析]①③忽略了不等式性质成立的条 件；④中的推论显然不正确. a<方[正解]①当 ab<0时， 不成立，故①不 正确. ②当 c<0时，a<b,故②不正确. ③当a=1,b=-2,k=2时，命题不成立，故③不 正确. ④由a>b>0,得-a<-b<0,∴0<c-a<c-b. 两边同来C-a)a-)得0<=。<=。。 又a>b>0∴∴a>-s>6,,故 ④正确.故 填④. Ⅱ误区警示|Ⅱ 应用不等式的性质时，一定要注意“保序”时的条 件，如“非负乘方保序”.应特别注意“乘负反序”“同号取 倒反序”两种情况. 25 ?高中数学·必修 第一册 易错 误用同向不等式的性质 警 示 ulb[例2] 已知10<a<50,4<b<8,则- -的取值范围是 [错解]∵10<a<50,4<b<8∴￥<方<8, ∴2<5<. [错因分析]错解中使用了同向不等式相除，从 而改变了所求代数式的取值范围. [正解]∵4<b<8,∴言<云<.又10<a< 50∴8<5<⋯<方<空 误区警示⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 若题目中指定代数式的取值范围必须依据不等式 的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但 是不能相减或相除.解题时必须利用性质，步步有据，避 免改变代数式的取值范围. 提示，请完成《素能提升训练》训练十一 2.2 基本不等式 第1课时基本不等式 [学习任务] 1.了解基本不等式的证明过程.(重点) 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 3.能利用基本不等式求简单函数的最值.(重点、难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点重要不等式与基本不等式 1.重要不等式 ,当且仅当aVa,b∈R,有 =b时，等号成立. 2.基本不等式 (1)如果a>0,b>0,有√ab≤“,” ,当且仅当 .;时，等号成立.其中， 叫做正数a,b的 ,√ab叫做正数a,b的 (2)基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一对基本不等式的理解 [例1] 下列结论正确的是 A.若x∈R,且x≠0,则+x≥4 B.当x>0时√F+≥2 C.当x≥2时，x+1的最小值为2 D.当0<x≤2时，x--≥-2 () Ⅱ规律方法|Ⅱ 基本不等式的理解 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三 相等”的原则，即 “≥√0求最值的前提条件①一正：应用基本不等式 是q>0,b>0: ②二定：ab(积)或a+b(和)为定值，不是定值应构造为 定值； ③三相等：必须存在取“=”的值，即“=”成立.如果“=” 不成立，那么此最值不存在. 跟踪训练 1.若a>b>0,则下列不等式成立的是 () A.a>b>“±?>√ab B.a>“2>√ab>h C.a>?2?>b>√ab D.a>√ab>?±b>t 26 跟踪训练 1.B ∵2∈A,∴m=2或m2-3m+2=2. 若m=2,则m2-3m+2=0,A={0,2,0},这与集合中元 素的互异性矛盾，不合题意； 若m2-3m+2=2,则m=0或m=3. 当m=0时，A={0,0,2},不合题意. 当m=3时，A={0,2,3},符合题意. 综上，m=3. 考点二 [例2] B 依题意，由MCN得a≥2,即所求的实数a的 取值范围是{a|a≥2}. 跟踪训练 2.解 由于B=A,在数轴上表示A,B,如图， A B -3 2k-1 2k+1 2 (k≥-1, (2k-1≥-3, {<可得 解得.2k+1<2, 所以大的取值范围是(4|-l≤k<去}. 考点三 [例3](1)A 法一 由题意，得AUB={-1,0,1,2},所 以C(AUB)={-2,3},故选A. 法二因为2∈B,所以2∈AUB,所以24[(AUB), 故排除 BD;又O∈A,所以O∈AUB,所以O∈[(AU B),故排除 C,选 A. (2)B 因为B={y|y>0},又由全集U=R,所以CB= {y|y≤0},则A∩(lB)={x|-1<x≤0}.故选 B. 跟踪训练 3.(1)C 由A∩B={1}知1∈B,即1是方程x2-4x+m= 0的根，∴1-4+m=0,即m=3.解方程 x2-4x+3=0 得x?=1或x?=3.∴B={1,3). Q P (2)B 2 3 4 选 B. 考点四 [例4][解](1)由题A至B,所以m+1>3,即m>2. 所以实数m的取值范围为{m|m>2}. (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A=B. 所以m+1=3,即m=2.即实数m的值为2. 跟踪训练 4.(1)A A={x|-4≤x≤4,x∈R},所以A≤B?a>4,而 a>5→a>4,且a>4+a>5,所以“a>5”是“A≤B”的充 分不必要条件. (2)D“方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的充要 条件为“(-2)2-4m≤0”,即“m≥1”,又“m≥2”是“m≥ 1”的充分不必要条件，即“方程 x2-2x+m=0至多有一 个实数解”的一个充分不必要条件是“m≥2”,故选 D. 考点五 [例5](1)C∵命题“Vx∈R,x2-3x+2≥0”为全称量 词命题，∴命题的否定为：3x∈R,x2-3x+2<0.故 选 C. (2)B 由题意，得方程x2+2x-m-1=0有实根，所以 △=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.故选 B. 跟踪训练 5.解 令y=x2+4x-3,x∈R,则y=(x+2)2-7≥-7. 因为Vx∈R,不等式x2+4x-3>m恒成立， 所以 m<-7, 所以实数m的取值范围是{m|m<-7}. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 【自主学习探新知】 知识点一 1.不等号的式子 2.> ≥ ≤ 知识点二 1.> = <2.> 知识点三 ≥ a=b 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)设该车工3天后平均每天需加工x个零件， 加工(15-3)天共加工12x个零件， 15天里共加工(3×24+12x)个零件，则 3×24+12x >408. 故不等关系表示为72+12x>408. (2)由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18 m, 所以 0<x≤18, 30一=(15-茎)(m)这时菜园的另一条边长为： 因此菜因面积S=x(15-詈), 依题意有S≥110,即x(15-号)≥110, 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 (0<x≤18, {x(15-告)≥110. 跟踪训练 +201.D 由题意可得 故选 D. 探究二 [例2] [解] 法一 (作差法) (方+分)-(G+√D)=(苏-√6)+(右-√a) -“-0 -A6-6m+ ∵a,b为正实数，∴√a+√b>0,√ab>0,(√a-√b)2≥0, :MG-6/m+≥0 当且仅当a=b时，等号成立. ∴后+分>a+6(当且仅当a=b时，取等号)。 法二 (作商法) 亚( √a+√b√ab(√i -A+元=+ -Cā-0+-1+Sā->1. 8 当且仅当a=b时，取等号. :+>0√a+√b>0. 跟踪训练 1.(1)D 选项A中，当a>b>0,c>d>0时，ac>bd成立， 但是当a,c均为负值时不成立，故 A错误；选项B中，当 ∴+≥×+√6(当且仅当a=b时，取等号)。 法三 (平方后作差) c<0时，ac>bc可推出a<b.当c>0时，ac>bc可推出a >b,故B错误；选项C中，由a>b,c>d,可得a-d>b- c.故C错误；选项D中，式子兰<成立，显然c≠0,所 :(发+分)=分++2/a, (√a+√b)2=a+b+2√ab, 以 c2>0,根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数， 所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然 有a<b成立，故 D正确.故选 D. (+后)-(√G+√By2=(a+b)(g-b) ->(2)ABD 因为a<b,故b-a>0,所以- 方，放C正确. ∵a>0,b>0.:(a+b)(a-b)2>0. ab 又方+>0√a+√b>0, 故后十后≥/石+√5(当且仅当a=b时，取等号), 0,故 探究二 [例2][证明](1)∵a>b,c>0,∴ac>bc, ∴-ac<-bc.∵f<e,∴f-ac<e-bc. (2)∵bc-ad≥0,∴ad≤bc.∵bd>0, ∴b≤x∴B+1≤÷+1,:a+?<+d 跟踪训练 2.解(1)M-N=x2+x-4x+2=x2-3x+2=(x-1)(x-2). 又因为x<1,所以x-1<0,x-2<0, 跟踪训练 所以(x-1)(x-2)>0, 所以 M>N. 2.证明(1)因为b>a>0,m>0,所以a-b<0,b+m>0, 5-8+-4(+6cb+M9+m)-6dc+pm;<0,所以- 故得证. (2)因为a≥1, 所以M=√a+I-√a>0,N=√a-√a-I>0. 兴所以： (2)由题意知x>0,y>0,z>0,则有x+y+z>x+y,x +y+s>x+x,x+y+x>y+8.z+y>a+ >a+9+x+x>a+y+: 所以·z+y+y+z+z+x>a+9+x+a+9++ r+yL-=/ 又√a+I+√a>√a+√a-I>0, <1,所以M<N.所以 牛刀小试 解析 设应开发 A类电子器件x件，则开发B类电子器 告+503?≤20,解得x<20.件(50-x)件.根据题意，得· 又根据(1)的结论可知中<十#<由题意，得总产值y=7.5x+6(50-x)=300+1.5x≤ 330,当且仅当x=20时，y取最大值330.所以欲使总产 量最高，A类电子器件应开发 20 件，最高产值为 330 万元. 十ya<f+ ++y++z+x<z+f+++所 以 答案 20 330 ##-2.第2课时等式性质与不等式性质 综上所述，1<z+y+y++=+x<2.【自主学习探新知】 探究三a=b知识点 1.b=a a=c a±c=b±c ac=bc [例3] [解](1)因为-1<x<4,2<y<3, 2.a>c a>c-b ac<bc a+c>b+d ac>bd 所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. 【互动探究解疑难】 (2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6, 探究一 所以1<3x+2y<18. [例1] ABC A:因为a3,b2不改变a,b的符号，即符合不 变式训练 (a<6.等式的可乘方性，故该结论正确.B:由 可得q2 1.解 因为-1<x<3,-1<y<3,所以-3<一y<1,所以-4<x-y<4. 又因为x<y,所以x-y<0,4<6,ab.因为 所以ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结 论正确.C:由>方，可知-÷=?>0.因为 a> 所以-4<x-y<0. 2.解 设3x+2y=m(x+y)+n(x-y), (m-m-2则 所以 即3x+2y=号(x+y)+÷(x-y). b,所以b-a<0,于是ab<0.又因为a>b,所以a>0,b< a-0.故该结论正确.D:依题意取a=-2,b=-1,则 去分-2,显然<方.故该结论错误，故选 ABC. 9 又因为-1<x+y<4,2<x-y<3, 所以一吾<喜(x+y)<10,1<号(x-y)<意. 所以-音<号(x+y)+号(x-y)<警， 即一言<3x+2y<答。 2.2基本不等式 第1课时基本不等式 【自主学习探新知】 知识点 1.a2+b2≥2ab 2.(1)a=b 算术平均数 几何 平均数 (2)不小于 【互动探究解疑难】 探究一 .÷+x≥4[例1] B 对于A,当x<0时， 显然不成立，故 A不正确； 对于 B,符合“一正，二定，三相等”,易知B正确； 对于C.若x=号，则 x=±1,均不满足 x≥2,故 C不 正确； 对于D.取x=号x-÷-号-3,显然最小值不为-2. 跟踪训练 1.B a=?Z“>?22>√ab>√b·b=b.因此只有B项 正确. 探究二 [例2] [解] 因为a>0,b>0,所以a+b≥2√ab,a2+b2 ≥2ab,所以四个数中最大数应为a+b或a2+b2. 又因为0<a<1,0<b<1, 所以a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a(a-1)+b(b- 1)<0, 所以a2+b2<a+b,所以a+b最大. 跟踪训练 2.B依题意 0<a<b<1,根据基本不等式可知“ 2 >√ab 因为0<a+b<2,a+b-(a+b2=(a+b)(1-°()= (a+b)×4-(q+b>o, 所以a+b>(a+b2,Va+b>°,所以√a+6～4+2 >√ab,即M>P>Q.故选 B. 牛刀小试 1.证明因为a>0,b>0,c>0, 所以a+b≥2√ab,b+c≥2√bc,c+a≥2√ac. 所以2(a+b+c)≥2(√ab+√bc+√ca), 即 a+b+c≥√ab+√bc+√ca. 由于a,b,c为不全相等的正实数， 故等号不成立. 所以a+b+c>√ab+√bc+√ca. 2.证明∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴÷-1=°≠e>0,÷-1=“E?>0,÷-1=?±?>0, ∴(÷-1)(云-1)(÷-1)-·“. >2/bc·2√ac·2√ab 8, abc 当且仅当a=b=c时取等号，∴不等式成立. 第2课时基本不等式的应用 【自主学习探新知】 知识点(1)x=y 2√F(2)x=y ÷s 【互动探究解疑难】 探究一 角度一 [例1] [解](1)∵x<喜⋯4x-5<0,∴5-4x>0, ∴4x-2+a-5=-(5-4x+s-4)+3≤-2+3 =1, 当且仅当5-4x=5-4,即x=1时，等号成立. ∴当x=1时，4x-2+取得最大值 1. (2)∵0<x<2∴3-2x>0, ∴4x(3-2x)=2·2x(3-2x)≤2(2x+2-2-)-2, 当且仅当2x=3-2x,即x=Z∈(0,2))时，等号成立. 二当x=二 号-时，4x(3-2x)取得最大值· 跟踪训练 1.解(1)国为0<x<去，,所以1-2x>0, 所以≥x(1-2x)=÷×2x(1-2x)≤÷× (2x+2-2r)-1c. 当且仅当2x=1-2x(o<x<告), 即x=一时，等号成立，故y=言x(1-2x)的最大值 为言 (2)因为x>-2,所以x+2>0. 所以 y=z+7r+14=(x+2)+3(+2)+ =(x+2)+z+z+3≥2√(a+2)·-+2+3=7. 当且仅当x+2=+2.即 x=0时，等号成立， y=2++2(a>-2)取得最小所以当 x=0时，函数 值 7. 角度二 [例2][解]法- ÷+方=(÷+)·1=(÷+ 方)(a+2b)=1+2+E+2=3+2+E≥3+ 2√·5=3+2/, 10