1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第一册 教材 由含量词命题的真假求参数值(范围) 拓 展 [例](1)对于任意实数x,不等式 x2+4x-1>m 恒成立，求实数m的取值范围. (2)存在实数x,使不等式一x2+4x-1>m有解， 求实数m的取值范围. [解](1)令 y=x2+4x-1,x∈R,则 y=(x+ 2)2-5,易知y的最小值为-5. 因为Vx∈R,不等式m<x2+4x-1恒成立，所以 只要m<-5即可. 所以 m的取值范围是{m|m<-5}. (2)令y=-x2+4x-1,则 y=-x2+4x-1= —(x-2)2+3,易知y的最大值为 3. 因为3x∈R,-x2+4x-1>m有解，所以只要m 小于y的最大值即可，即m<3. 所以 m的取值范围是{m|m<3}. Ⅱ素养提升Ⅱ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 与全称量词命题和存在量词命题真假有关的参数问题 (1)对于全称量词命题“Vx∈M,a>y(或a<y)”为 真，求a的范围的问题，实质就是不等式恒成立问题，通 常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>y⋯(或 a<ymi); (2)对于存在量词命题“3x∈M,a>y(或a<y)”为 真，求a的范围的问题，实质就是不等式能成立问题，通 常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>y⋯.(或 a<ymx). ?牛刀小试 (盐城高二期中)已知命题“存在x∈{x|0<x< 3},使得等式2x-m=0成立”是假命题，则实数 m的取值范围是 () A.{m|m≤0,或m≥6} B.{m|m<0,或m>6} C.{m|m<0,或m≥6} D.{m|m≤0,或m>6} 提示，请完成《素能提升训练》训练八 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习任务] 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.命题的否定 一般地，对一个命题p进行否定，就可以得到 一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记 作一p 2.命题-p的真假判断 因为命题p与命题→p互为否定，所以它们 的真假一定 .其真假情况如下： (1)若p真，则一p假； (2)若p假，则-p真. 命题p与命题-p的真假情况可以简单归纳 为“不可同真同假”.即命题 p和命题-p不能同 真同假，只能是 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 Vx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) 否定形式 3x∈M,-p(x) 结论 全称量词命题的否定 是 存在量词命题的否 定是全称量词命题 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)Va∈R,方程x2+ax+2=0有实数根； (3)Va,b∈R,方程ax=b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. Ⅱ规律方法|Ⅱ 对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不 是”“不成立”等. 16 第一章 集合与常用逻辑用语 口跟踪训练 1.写出下列命题的否定. (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)Vx∈R,都有x2-2x+1≥0. 跟踪训练 2.命题“3x?∈R,xó+2x?+2≤0”的否定是() A.3x?≠R,x3+2x?+2≤0 B.3x?∈R,xó+2x?+2>0 C.Vx∈R,x2+2x+2≤0 D.Vx∈R,x2+2x+2>0 探究三根据全称量词命题、存在量词命题的 否定求参数 [例3] 已知命题p:Vx∈R,m+x2-2x+5>0,若 →p为假命题，求实数m的取值范围. 探究二存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断其 否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)3x,y∈Z,√2x+y=3. Ⅱ规律方法|Ⅱ (1)注意p与一p的真假性只能一真一假，解决问 题时可以相互转化. (2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函 数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函 数的最值问题. ⋯⋯ 口跟踪训练 3.已知命题 p:3x∈R,m-x2+2x-5>0,若→p 为假命题，求实数m的取值范围. Ⅱ规律方法|Ⅱ 1.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词. (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没 有”“不存在”等. 2.存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与 存在量词命题相反.要说明一个存在量词命题是真命 题，只需要找到一个实例即可. 提示、请完成《素能提升训练》训练九 17 {m|÷≤m<子).1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 ∴当B∩C≠O时，m的取值范围为 2.解 (1)当a=3时，A={x|-1≤x≤5},又B={x |x≤1或x≥4}, 【自主学习探新知】 知识点 2.不同 一真一假 3.Vx∈M,-p(x) 存在 量词命题 ∴A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}. (2)若a>0,则A不为空集.【互动探究解疑难】 ∵B={x|x≤1或x≥4},∴CgB={x|1<x<4}. 由A∩(CB)=A,得A≤CB, ÷2+a<l: 探究一 [例1][解] (1)该命题的否定是存在一个平行四边形， 它的对边不都平行. 解得a<1, (2)该命题的否定是日a∈R,方程x2+ax+2=0没有实 数根. ∴a的取值范围是{a|0<a<1}. 3.解 (1)当m=3时，A={x|3<x<6},(3)该命题的否定是3a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一 或不存在. 因为 B={x|x≤-5或x>4}, 所以[gB={x|-5<x≤4},(4)该命题的否定是存在被5整除的整数，末位不是0. 跟踪训练 故 AU(CB)={x|-5<x<6}. (2)若选①:当A=时，m≥2m,1.解 (1)存在一个矩形不是平行四边形； 即当m≤0时，ACCRB成立；(2)存在一个素数不是奇数； ((3)3x∈R,使得x2-2x+1<0. 当A≠0时，m>0,由A≤[B可得探究二 解得-5≤m≤2,此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m|m≤2). 若选②:当A=?时，m≥2m,即 当m≤0时，A∩B=0成立； 当 A≠时，即 m>0, {2d由A∩B=②可得 [例2][解] (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的 绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.它 为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每 一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形， 因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“Vx,y∈Z,√2x+y≠3”.当x=0,y= 3时，√2x+y=3,因此命题的否定是假命题. 解得-5≤m≤2,此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m|m≤2). 若选③:由A∩(CgB)=A可得ACCB. 当A=时，m≥2m,即当m≤0时，A≤CB成立； 跟踪训练 2.D 把存在量词改为全称量词，同时把“≤”改为“>”. 探究三 12s=4.当 A≠0时，即m>0.由A≤CB可得[例3][解] 因为一p为假命题，所以命题 p:Vx∈R,m +x2-2x+5>0为真命题，m+x2-2x+5>0可化为m >-x2+2x-5=-(x-1)2-4,即m>-(x-1)2-4 对任意x∈R恒成立，只需m>—4即可，故实数m的取 值范围为{m|m>-4}. 解得-5≤m≤2,此时0<m≤2. 综上，m的取值范围是{m|m≤2}. 题型二 4.解析 因为N={a,,a,⋯,a}(m∈N*)为M的第k个 子集，且k=2^-1+2-1+⋯+2-',25=2?+23+2?= 21-1+2?-1+2?-1, 跟踪训练 3.解 因为一p为假命题，所以命题 p:3x∈R,m-x2+ 2x-5>0为真命题，m-x2+2x-5>0可化为m>x2- 所以M的第25个子集是{a?,a?,a?}.2x+5=(x-1)2+4,即3x∈R,m>(x-1)2+4成立， 答案 {a?,a?,a?}只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本 题也可利用二次函数 y=-x2+2x+m-5的图象的顶 点在x轴上方，转化为对应方程△>0进行解题) 5.解 (1)集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. (2)集合{1,3,5,7,9,11,13}为“和谐集”. 证明如下： 专题1集合、充分必要条件的综合问题 题型一 ∵3+5+7+9=11+13. 1+9+13=5+7+11, 9+13=1+3+7+11, 1+9+11=3+5+13, 1+3+5+11=7+13, 3+7+9=1+5+13, 1+3+5+9=7+11, 1.解 (1)∵A={x|2≤x≤8}, ∴CA={x|x<2或x>8}. ∵(C?A)∩B=0,∴BCA. 当 B=时，6-m<2,解得m>4; 当B≠a时、8-m=:解得-2≤m≤4. 综上所述，m的取值范围是{m|m≥-2}. 1+2a-1 ∴集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”. (3)证明：假设集合A是“和谐集”,不妨设O<a?<a?<a? <a?<a?,则集合{a?,a?,a?,as}能分成两个交集为空集 的子集，且两个子集元素之和相等，(2)由题意知，若B≠0,C≠×,则 则有a?+a?=a?+a?①,或a?=a?+a?+a?②,解得-2≤m≤4. 集合{a?,a?,a?,a}也能分成两个交集为空集的子集，且 两个子集元素之和相等， 又∵B∩C≠0,∴m-1≤6-m≤1+2m或2≤1+2m≤ 6-m,解得-2<m<2, 则有a?+a?=a?+a?③,或a?=a?+a?+a?④, 6