1.5.1 全称量词与存在量词-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

?高中数学·必修 第一册 (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (4)p:A∩B=A,q:CBCA. Ⅱ规律方法|Ⅱ 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必 要性两个方向进行，即证明两个命题“若 p,则 q”为真且 “若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证 明，证明p与q的解集是相同的. [注意] 证明时一定要分清充分性与必要性的证 明方向。 探究二充要条件的证明 [例 2](链接教科书第 22 页例 4)证明：如图梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD. D 口跟踪训练 2.(河北唐山第一中学高一月考)已知a,b是实数， 求证：“a1—b?-2b2=1”成立的充要条件是"a2- b2=1”. B C 提示，请完成《素能提升训练》训练七 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 [学习任务] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(重点、 难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一全称量词与全称量词命题 知识点二存在量词与存在量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任 给”等 符号 全称量 词命题 含有 的命题 形式 “对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简 记为“ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个” “对某些”“有的”等 符号 存在量 词命题 含有 的命题 形式 “存在 M中的元素x,p(x)成立”可用符号 简记为“ 14 第一章 集合与常用逻辑用语 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 全称量词命题和存在量词命题的判断 [例1] (1)下列命题为全称量词命题的是 () A.有些实数没有倒数 B.矩形都有外接圆 C.存在一个实数与它的相反数的和为0 D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行 (2)(多选)下列命题为存在量词命题的是() A.某些二次函数的图象与y轴有交点(0,5) B.正方体都是长方体 C.不平行的两条直线都是相交直线 D.存在实数大于或等于2 Ⅱ规律方法|Ⅱ⋯ 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题 的思路 探究二 全称量词命题与存在量词命题的真 假判断 [例 2] 判断下列命题的真假. (1)3x∈Z,使得x3<1; (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y) 都对应一点 P; (4)Vx∈N,有x2>0. 判命题 判断该语句是否为命题 看量词 看命题中是否含有量词或隐含量词， 判断量词或隐含量词是全称量词还 是存在量词” 下结论 含有全称量词的命题称为全称量词 命题,食有存在量词的命题称为存 在量词命题 口跟踪训练 1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词 命题： (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线 互相垂直； (4)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|; (5)方程 3x-2y=10有整数解. Ⅱ规律方法⋯⋯⋯⋯ 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定 集合的每一个元素x,使命题 p(x)为真；但要判断一个 全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元 素x,使命题 p(x)为假. (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的 集合中找到一个元素x,使命题 p(x)为真；要判断一个 存在量词命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x, 使命题 p(x)为假. 口跟踪训练 2.指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存 在量词命题，并判断其真假. (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x?,x?若x?<x?,都有x2<x2; (4)存在一个实数x,使得x2+2x+3=0. 15 ?高中数学·必修 第一册 教材 由含量词命题的真假求参数值(范围) 拓 展 [例](1)对于任意实数x,不等式 x2+4x-1>m 恒成立，求实数m的取值范围. (2)存在实数x,使不等式一x2+4x-1>m有解， 求实数m的取值范围. [解](1)令 y=x2+4x-1,x∈R,则 y=(x+ 2)2-5,易知y的最小值为-5. 因为Vx∈R,不等式m<x2+4x-1恒成立，所以 只要m<-5即可. 所以 m的取值范围是{m|m<-5}. (2)令y=-x2+4x-1,则 y=-x2+4x-1= —(x-2)2+3,易知y的最大值为 3. 因为3x∈R,-x2+4x-1>m有解，所以只要m 小于y的最大值即可，即m<3. 所以 m的取值范围是{m|m<3}. Ⅱ素养提升Ⅱ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 与全称量词命题和存在量词命题真假有关的参数问题 (1)对于全称量词命题“Vx∈M,a>y(或a<y)”为 真，求a的范围的问题，实质就是不等式恒成立问题，通 常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>y⋯(或 a<ymi); (2)对于存在量词命题“3x∈M,a>y(或a<y)”为 真，求a的范围的问题，实质就是不等式能成立问题，通 常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>y⋯.(或 a<ymx). ?牛刀小试 (盐城高二期中)已知命题“存在x∈{x|0<x< 3},使得等式2x-m=0成立”是假命题，则实数 m的取值范围是 () A.{m|m≤0,或m≥6} B.{m|m<0,或m>6} C.{m|m<0,或m≥6} D.{m|m≤0,或m>6} 提示，请完成《素能提升训练》训练八 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习任务] 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.命题的否定 一般地，对一个命题p进行否定，就可以得到 一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记 作一p 2.命题-p的真假判断 因为命题p与命题→p互为否定，所以它们 的真假一定 .其真假情况如下： (1)若p真，则一p假； (2)若p假，则-p真. 命题p与命题-p的真假情况可以简单归纳 为“不可同真同假”.即命题 p和命题-p不能同 真同假，只能是 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 Vx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) 否定形式 3x∈M,-p(x) 结论 全称量词命题的否定 是 存在量词命题的否 定是全称量词命题 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)Va∈R,方程x2+ax+2=0有实数根； (3)Va,b∈R,方程ax=b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. Ⅱ规律方法|Ⅱ 对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不 是”“不成立”等. 16 e 即a1—(b?+2b2+1)=0,因为 q→p,所以 B∈A.所以 所以a1—(b2+1)2=0,所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1 成立.2.解 p:3a<x<a,其中a<0,即集合A={x|3a<x<a}. q:-3≤x≤0,即集合 B={x|-3≤x≤0}. 所以“a2—b2=1”是“a?—b1—2b2=1”成立的必要条件. 综上所述，“a1—b1—2b2=1”成立的充要条件是“a2-b2 =1”. 因为p是q的充分条件，所以 p→q,所以A≤B, 9 ≤0,“>-l≤a<0.所以 <) 所以a的取值范围是{al-1≤a<0}. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 1.4.2充要条件 【自主学习探新知】 【自主学习探新知】 知识点一 V全称量词 Vx∈M,p(x) 知识点二 3存在量词3x∈M,p(x)知识点 1.若q,则p 2.真命题 p?q 充要条件 【互动探究解疑难】 【互动探究解疑难】 探究一 探究一 [例1][解](1)∵p→q,q不能推出p, [例1] (1)B 对于 A,含有存在量词“有些”,为存在量词 命题；∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p→q·q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件. 对于 B,含有全称量词“都有”,为全称量词命题； (3)∵p不能推出q,q→p,∴p是q的必要不充分条件. 对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题； 对于 D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题.故(4)∵ab=0时，|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab> 0”,即 p不能推出q. 选 B. 而当ab>0时，有|ab|=ab,即q→p. ∴p是q的必要不充分条件. (2)AD 由题意，选项 A中有存在量词“某些”,选项 D 中有存在量词“存在”,均为存在量词命题，选项 B,C中 都有全称量词“都是”,均是全称量词命题.故选 AD.跟踪训练 1.解 (1)因为a=b→ac=bc,而ac=bc-a=b,所以p是q 的充分不必要条件. 跟踪训练 1.解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故 为全称量词命题.(2)因为a+5是无理数→a是无理数，并且a是无理数→ a+5是无理数，所以p是q的充要条件. (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 命题.(3)因为a2+b2=0→a=b=0,并且a=b=0→a2+b2=0, 所以 p是q的充要条件. (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称 量词命题.(4)因为A∩B=A→AB→CA≥B,并且CB [A→B≥A→A∩B=A,所以p是q的充要条件. (4)含存在量词“有些”,故为存在量词命题. 探究二 (5)可改写为存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立，故 为存在量词命题.[例2] [证明] (1)必要性：在等腰梯形ABCD中， AB=DC,∠ABC=∠DCB, 探究二 又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB,∴AC=BD. [例2][解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1, (2)充分性：如图，过点D作DE// D 所以“3x∈Z,x3<1”是真命题. AC,交 BC的延长线于点E. ∵AD//BE,DE//AC, (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系 知，它是真命题. EB C∴四边形ACED是平行四边形. ∴DE=AC. (4)因为O∈N,02=0,所以命题“Vx∈N,x2>0”是假 命题.∵AC=BD,∴BD=DE,∴∠E=∠1. 又∵AC//DE.∴∠2=∠E,∴∠1=∠2. 在△ABC和△DCB中， (AC=DB, 跟踪训练 2.解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题. (1)所有的等边三角形都有三边对应成比例，所以该命题 是真命题.∠2=∠1, RC=(R (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题 是真命题.∴△ABC≌△DCB.∴AB=DC. (3)存在x?=-5,x?=-3,x?<x,但(-5)2>(-3)2, 所以该命题是假命题. ∴梯形 ABCD为等腰梯形.由(1)(2)可得，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC=BD. 跟踪训练 (4)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2 +2x+3=0的实数x不存在，所以该命题是假命题.2.证明 先证明充分性： 若a2-b2=1,则a1-b?-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2= a2+b2-2b2=a2-b2=1,结论成立. 牛刀小试 A 由已知“存在x∈{x|0<x<3},使得等式2x-m=0 成立”是假命题，等价于“任意的x∈{x|0<x<3},使得 等式 2x-m≠0成立”是真命题，又因为0<x<3,所以0 所以“a2—b2=1”是“a1—b1—2b2=1”成立的充分条件. 再证明必要性： 若a?-b?-2b2=1,则a?-b?-2b2-1=0, <2x<6,要使2x≠m,则需m≤0或m≥6. 5