1.4.2 充要条件-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 [错解]令A={x|a-2<x<a+2},B={x|-1 <x<2}. 假设存在a满足条件，则有BCA, ÷{2La+2.即 O≤a≤1. ∴存在0≤a≤1,使“a-2<x<a+2”是“-1<x <2”的充分条件. [错因分析]BCA即B的元素都是A的元素， “a-2<x<a+2”是“-1<x<2”的必要条件；当 ACB时，“a-2<x<a+2”才是“-1<x<2”的 充分条件.这里混淆了充分条件与必要条件导致 错误. [正解] 令A={x|a-2<x<a+2},B={x|-1 <x<2}. 假设存在a满足条件，则有ACB, ?a-2≥-1, ∴a∈,即不存在a,使“a-2<x \a+2≤2, <a+2”是“-1<x<2”的充分条件. Ⅱ误区警示Ⅱ 解决这类问题时，务必看清设问方式，明确哪个是 条件，哪个是结论，然后根据充分条件、必要条件、充要 条件的定义正确解答. 提示。请完成《素能提升训练》训练六 1.4.2充要条件 [学习任务] 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题.(重点) 3.能对充要条件进行证明.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点充要条件 1.逆命题 将命题“若 p,则 q”中的条件 p和结论q互换，就 得到一个新的命题“ ”,称这个命题 为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则 p”均是 ,即既有p→q,又有q→p,就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条 件，我们说 p是q的充分必要条件，简称为 .显然，如果 p是q的充要条件，那么 q也是 p 的充要条件. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一充分、必要、充要条件的判断 [例1] 指出下列各组命题中，p是q的什么条 件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要 条件、既不充分也不必要条件). (1)p:数a能被6整除，q:数a能被3整除； (2)p:x>1,g:x2>1; (3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC 是正三 角形； (4)p:|ab|=ab,q:ab>0. Ⅱ规律方法|Ⅱ 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则 p” 的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p?q与q?p的等价关系判断. 一般地，对于条件和结论为否定形式的命题，一般运用 等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p →p?→⋯→p,,可得 p→p..充要条件也有传递性. 口跟踪训练 1.在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1)p:a=b,q:ac=bc; (2)p:a+5是无理数；q:a是无理数； 13 ?高中数学·必修 第一册 (3)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (4)p:A∩B=A,q:CBCA. Ⅱ规律方法|Ⅱ 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必 要性两个方向进行，即证明两个命题“若 p,则 q”为真且 “若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证 明，证明p与q的解集是相同的. [注意] 证明时一定要分清充分性与必要性的证 明方向。 探究二充要条件的证明 [例 2](链接教科书第 22 页例 4)证明：如图梯形 ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD. D 口跟踪训练 2.(河北唐山第一中学高一月考)已知a,b是实数， 求证：“a1—b?-2b2=1”成立的充要条件是"a2- b2=1”. B C 提示，请完成《素能提升训练》训练七 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 [学习任务] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(重点、 难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一全称量词与全称量词命题 知识点二存在量词与存在量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任 给”等 符号 全称量 词命题 含有 的命题 形式 “对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简 记为“ 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个” “对某些”“有的”等 符号 存在量 词命题 含有 的命题 形式 “存在 M中的元素x,p(x)成立”可用符号 简记为“ 14 e 即a1—(b?+2b2+1)=0,因为 q→p,所以 B∈A.所以 所以a1—(b2+1)2=0,所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1 成立.2.解 p:3a<x<a,其中a<0,即集合A={x|3a<x<a}. q:-3≤x≤0,即集合 B={x|-3≤x≤0}. 所以“a2—b2=1”是“a?—b1—2b2=1”成立的必要条件. 综上所述，“a1—b1—2b2=1”成立的充要条件是“a2-b2 =1”. 因为p是q的充分条件，所以 p→q,所以A≤B, 9 ≤0,“>-l≤a<0.所以 <) 所以a的取值范围是{al-1≤a<0}. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 1.4.2充要条件 【自主学习探新知】 【自主学习探新知】 知识点一 V全称量词 Vx∈M,p(x) 知识点二 3存在量词3x∈M,p(x)知识点 1.若q,则p 2.真命题 p?q 充要条件 【互动探究解疑难】 【互动探究解疑难】 探究一 探究一 [例1][解](1)∵p→q,q不能推出p, [例1] (1)B 对于 A,含有存在量词“有些”,为存在量词 命题；∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p→q·q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件. 对于 B,含有全称量词“都有”,为全称量词命题； (3)∵p不能推出q,q→p,∴p是q的必要不充分条件. 对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题； 对于 D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题.故(4)∵ab=0时，|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab> 0”,即 p不能推出q. 选 B. 而当ab>0时，有|ab|=ab,即q→p. ∴p是q的必要不充分条件. (2)AD 由题意，选项 A中有存在量词“某些”,选项 D 中有存在量词“存在”,均为存在量词命题，选项 B,C中 都有全称量词“都是”,均是全称量词命题.故选 AD.跟踪训练 1.解 (1)因为a=b→ac=bc,而ac=bc-a=b,所以p是q 的充分不必要条件. 跟踪训练 1.解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故 为全称量词命题.(2)因为a+5是无理数→a是无理数，并且a是无理数→ a+5是无理数，所以p是q的充要条件. (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 命题.(3)因为a2+b2=0→a=b=0,并且a=b=0→a2+b2=0, 所以 p是q的充要条件. (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称 量词命题.(4)因为A∩B=A→AB→CA≥B,并且CB [A→B≥A→A∩B=A,所以p是q的充要条件. (4)含存在量词“有些”,故为存在量词命题. 探究二 (5)可改写为存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立，故 为存在量词命题.[例2] [证明] (1)必要性：在等腰梯形ABCD中， AB=DC,∠ABC=∠DCB, 探究二 又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB,∴AC=BD. [例2][解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1, (2)充分性：如图，过点D作DE// D 所以“3x∈Z,x3<1”是真命题. AC,交 BC的延长线于点E. ∵AD//BE,DE//AC, (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系 知，它是真命题. EB C∴四边形ACED是平行四边形. ∴DE=AC. (4)因为O∈N,02=0,所以命题“Vx∈N,x2>0”是假 命题.∵AC=BD,∴BD=DE,∴∠E=∠1. 又∵AC//DE.∴∠2=∠E,∴∠1=∠2. 在△ABC和△DCB中， (AC=DB, 跟踪训练 2.解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题. (1)所有的等边三角形都有三边对应成比例，所以该命题 是真命题.∠2=∠1, RC=(R (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题 是真命题.∴△ABC≌△DCB.∴AB=DC. (3)存在x?=-5,x?=-3,x?<x,但(-5)2>(-3)2, 所以该命题是假命题. ∴梯形 ABCD为等腰梯形.由(1)(2)可得，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC=BD. 跟踪训练 (4)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2 +2x+3=0的实数x不存在，所以该命题是假命题.2.证明 先证明充分性： 若a2-b2=1,则a1-b?-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2= a2+b2-2b2=a2-b2=1,结论成立. 牛刀小试 A 由已知“存在x∈{x|0<x<3},使得等式2x-m=0 成立”是假命题，等价于“任意的x∈{x|0<x<3},使得 等式 2x-m≠0成立”是真命题，又因为0<x<3,所以0 所以“a2—b2=1”是“a1—b1—2b2=1”成立的充分条件. 再证明必要性： 若a?-b?-2b2=1,则a?-b?-2b2-1=0, <2x<6,要使2x≠m,则需m≤0或m≥6. 5