1.4.1 充分条件与必要条件-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 A ① AnB) ③ B ② 则 card(AUB)表示 A和B区域里一共有的不同 元素的个数，即 card(AUB)=①+②+③; card(A)表示集合 A的区域里的元素个数， 即 card(A)=①+③; card(B)表示集合B的区域里的元素个数， 即 card(B)=②+③. 注意到 card(A)+card(B)-card(A∩B)=(① +③)+(②+③)-③=①+②+③=card(AU B),则结论得证. 口牛刀小试 1.若 card(M)=12,card(P)=8,则 card(MU P)的 最大、最小值分别是 () A.12,8 B.20,8 C.20,12 D.20,4 2.(江西宜春高一月考)某中学的学生积极参加体育 锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60 名学 生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜 欢足球又喜欢游泳的学生有 () A.62名 B.56 名 C.46 名 D.42 名 提示，请完成《素能提升训练》训练五 1.4 充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 AI得学助手 直热答程 配查答案 全面梳到 查薄补缺 [学习任务] 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.(重点) 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一命题的概念 1.命题 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达 的，可以判断 _的 叫做命题 (2)分类：判断为 的语句是真命题，判断 为 的语句是假命题. (3)结构形式：“若p,则q”“如果 p,那么 q”等形式 的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论. 2.推出符号“→”的含义 (1)一般地，“若p,则q”为_ ,是指由p通 互动探究解疑难 过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推 出q,记作“ (2)如果“若p,则q”为 ,那么由条件 p不 能推出结论q,记作“ 知识点二充分条件与必要条件 一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理 可以得出q.这时，我们就说，p是q的_ 条 件，q是p的 条件.如果“若 p,则 q”为假 命题，那么由条件p不能推出结论q,我们就说 p 不是q的充分条件，q不是p的 条件. 要点归纳 重难突破 探究一充分条件的判断 [例1](链接教科书第18页例1)下列命题中，p 是否是q的充分条件? (1)p:a+b=0,q:a2+b2=0; (2)p:四边形的对角线相等，q:四边形是矩形； (3)p:x=1,q:x2-4x+3=0; (4)p:m<-1,q:x2-x-m=0无实根. Ⅱ规律方法|⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯越 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 第一步 人 第二步 第三步 确定谁是条件，谁是结论 尝试由条件推结论 若条件能推出结论，则条件 为结论的充分条件，否则条 件就不是结论的充分条件 (2)命题判断方法 若命题“若 p,则q”是真命题，则p是q的充分条 件；若命题“若p,则q”是假命题，则p不是q的充分 条件. 11 ?高中数学·必修 第一册 D跟踪训练 1.(1)下列各题中，p是q的充分条件的是 ①p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0; ②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等； ③p:m<—2,q:方程 x2-x-m=0无实根. (2)“a>2,b>2”是“a+b>4,ab>4”的 条件. 探究二必要条件的判断 [例2] 指出下列哪些命题中p是q的必要条件. (1)在△ABC中，p:AC>AB,q:∠B>∠C; (2)已知x,y∈R,p:(x-1)(x-2)=0,q:x=1. 探究三 根据充分条件(必要条件)求参数(范围) [例3]已知 p:实数x满足3a<x<a,其中a<0; q:实数x满足-2≤x≤3.若p是q的充分条件， 求实数a的取值范围. Ⅱ规律方法|Ⅱ 根据必要条件(充分条件)求参数的取值范围时，先 将 p,q等价转化，再根据必要条件与集合间的关系，将 问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立 关于参数的不等式(组)进行求解. ?变式训练 1.(变条件)将本例中的条件p改为“实数x满足a <x<3a,其中a>0”,若p是q的必要条件，求实 数a的取值范围. 川规律方法|Ⅱ 必要条件的两种判断方法 (1)定义法 第一步 第二步 确定谁是条件，谁是结论 尝试由条件推结论 2.(变条件)将本例中的条件q改为“q:实数x满足 -3≤x≤0”,其他条件不变，求实数a的取值 范围. 若条件能推出结论，则结论 第三步 为条件的必要条件，否则结 论就不是条件的必要条件 (2)命题判断方法 若命题“若 p,则q”是真命题，则q是p的必要条 件；若命题“若p,则 q”是假命题，则q不是p的必要 条件. 口跟踪训练 2.(多选)下列命题是真命题的是 A.“x>2”是“x>3”的必要条件 B.“x=2”是“x2=4”的必要条件 C.“AUB=A”是“A∩B=B”的必要条件 D.p:a>b,q:ac>be,p是q的必要条件 () 易错 混淆充分条件与必要条件 警示 [例] 是否存在实数a,使“a-2<x<a+2”是“—1 <x<2”的充分条件?如果存在，求出a的取值范 围；如果不存在，请说明理由. 12 第一章 集合与常用逻辑用语 [错解]令A={x|a-2<x<a+2},B={x|-1 <x<2}. 假设存在a满足条件，则有BCA, ÷{2La+2.即 O≤a≤1. ∴存在0≤a≤1,使“a-2<x<a+2”是“-1<x <2”的充分条件. [错因分析]BCA即B的元素都是A的元素， “a-2<x<a+2”是“-1<x<2”的必要条件；当 ACB时，“a-2<x<a+2”才是“-1<x<2”的 充分条件.这里混淆了充分条件与必要条件导致 错误. [正解] 令A={x|a-2<x<a+2},B={x|-1 <x<2}. 假设存在a满足条件，则有ACB, ?a-2≥-1, ∴a∈,即不存在a,使“a-2<x \a+2≤2, <a+2”是“-1<x<2”的充分条件. Ⅱ误区警示Ⅱ 解决这类问题时，务必看清设问方式，明确哪个是 条件，哪个是结论，然后根据充分条件、必要条件、充要 条件的定义正确解答. 提示。请完成《素能提升训练》训练六 1.4.2充要条件 [学习任务] 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题.(重点) 3.能对充要条件进行证明.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点充要条件 1.逆命题 将命题“若 p,则 q”中的条件 p和结论q互换，就 得到一个新的命题“ ”,称这个命题 为原命题的逆命题. 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则 p”均是 ,即既有p→q,又有q→p,就记作 .此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条 件，我们说 p是q的充分必要条件，简称为 .显然，如果 p是q的充要条件，那么 q也是 p 的充要条件. 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一充分、必要、充要条件的判断 [例1] 指出下列各组命题中，p是q的什么条 件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要 条件、既不充分也不必要条件). (1)p:数a能被6整除，q:数a能被3整除； (2)p:x>1,g:x2>1; (3)p:△ABC有两个角相等，q:△ABC 是正三 角形； (4)p:|ab|=ab,q:ab>0. Ⅱ规律方法|Ⅱ 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则 p” 的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p?q与q?p的等价关系判断. 一般地，对于条件和结论为否定形式的命题，一般运用 等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p →p?→⋯→p,,可得 p→p..充要条件也有传递性. 口跟踪训练 1.在下列各题中，试判断p是q的什么条件. (1)p:a=b,q:ac=bc; (2)p:a+5是无理数；q:a是无理数； 13 所以CA={x|x≤-1或2≤x≤4},LB={x|x<0或 3<x≤4},AUB={x|-1<x≤3}, A∩B={x|0≤x<2}, (CA)UB={x|x≤-1或0≤x≤4}, A∩(CB)={x|-1<x<0}, C(AUB)={x|x≤-1或3<x≤4}, (CA)∩(CB)=C(AUB)={x|x≤-1或3<x≤4}, C(A∩B)={x|x<0或2≤x≤4}, (CA)U(CB)=C(A∩B)={x|x<0或2≤x≤4}. 跟踪训练 2.(1)B 画出Venn图， M N 阴影部分为M∩l,N={2,4},∴N={1,3,5}. (2)解析 把全集R和集合A,B在数轴上表示如下： A B 23 7 io # 由图知，AUB={x|2<x<10}, ∴(AUB)={x|x≤2,或 x≥10}. ∵lA={x|x<3,或x≥7}, ∴([gA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. 答案 {x|x≤2,或x≥10}{x|2<x<3,或7≤x<10} 探究三 [例3][解] 法一 (直接法) 由A={x|x+m≥0}={z|x≥-m},得LA={x|x<-m}. 因为 B={x|-2<x<4},(CA)∩B=, CxA B 主0 2-m-2 4 所以-m≤—2,即m≥2, 所以m的取值范围是m≥2. 法二 (集合间的关系) 由(CA)∩B=可知B=A,又B={x|-2<x<4},A= {x|x+m≥0}={x|x≥-m},结合数轴： -m -2 4 x 得一m≤-2,即m≥2. 变式训练 1.解由已知得A={x|x≥-m}, 所以[A={x|x<-m}. 又(CA)∩B=B,所以—m≥4,解得m≤-4. 2.解 由已知得，A={x|x≥-m},l,B={x|x≤-2,或x ≥4},(CB)UA=R, 所以-m≤—2,解得m≥2. 牛刀小试 1.C 0≤card(M∩P)≤8,所以 card(MUP)=card(M)+ card(P)-card(M∩P)=20-card(M∩P),故其最大值 为 20,最小值为12.故选 C. 2.C 将喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分 别记为A,B.由题意可得集合A,B,AUB中的元素个数 分别为 card(A)=60,card(B)=82,card(AUB)=96,则 card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(AUB)=60+82 -96=46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 46名. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)真假 陈述句 (2)真 假 (3)p q 2.(1)真命题 p→q (2)假命题 p→q 知识点二 充分 必要 必要 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)∵a=1,b=-1时，a+b=0, 但a2+b2=2,∴a+b=0>a2+b2=0. ∴p不是q的充分条件. (2)∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等书四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. (3)当x=1时，x2-4x+3=0, ∴x=1→x2-4x+3=0. ∴p是q的充分条件. (4)由方程x2-x-m=0无实根， 得A=1+4m<0,即m<-子. :m<-1>m<-÷,即p→q, ∴p是q的充分条件. 跟踪训练 1.解析 (1)①∵(x-2)(x-3)=0, ∴x=2或x=3,不能推出x-2=0. ∴p不是q的充分条件. ②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件. ③∵m<-2,∴l2+4m<0, ∴方程x2-x-m=0无实根，∴p是q的充分条件. (2)由a>2,b>2→a+b>4,ab>4, ∴是充分条件. 答案 (1)③ (2)充分 探究二 [例2] [解](1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B> ∠C→AC>AB,所以 p是q的必要条件. (2)由x=1→(x-1)(x-2)=0,故p是q的必要条件. 故(1)(2)命题中p是q的必要条件. 跟踪训练 2.AC ∵x>3→x>2,∴A是真命题；∵x=2→x2=4, x2=4+x=2,∴B是假命题；∵A∩B=B→AUB=A, ∴C是真命题；∵q→p,∴p不是q的必要条件，D是假命题. 探究三 [例3][解] p:3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a}. q:-2≤x≤3,即集合 B={xl-2≤x≤3}. 因为 p→q,所以 A≤B, -2 >-号<a<0,所以a≤3, {a|-}≤a<0),所以a的取值范围是 变式训练 1.解 p:a<x<3a,即集合A={x|a<x<3a}. q:-2≤x≤3,即集合 B={x|-2≤x≤3}. 4 e 即a1—(b?+2b2+1)=0,因为 q→p,所以 B∈A.所以 所以a1—(b2+1)2=0,所以(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0.因为a2+b2+1≠0,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1 成立.2.解 p:3a<x<a,其中a<0,即集合A={x|3a<x<a}. q:-3≤x≤0,即集合 B={x|-3≤x≤0}. 所以“a2—b2=1”是“a?—b1—2b2=1”成立的必要条件. 综上所述，“a1—b1—2b2=1”成立的充要条件是“a2-b2 =1”. 因为p是q的充分条件，所以 p→q,所以A≤B, 9 ≤0,“>-l≤a<0.所以 <) 所以a的取值范围是{al-1≤a<0}. 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 1.4.2充要条件 【自主学习探新知】 【自主学习探新知】 知识点一 V全称量词 Vx∈M,p(x) 知识点二 3存在量词3x∈M,p(x)知识点 1.若q,则p 2.真命题 p?q 充要条件 【互动探究解疑难】 【互动探究解疑难】 探究一 探究一 [例1][解](1)∵p→q,q不能推出p, [例1] (1)B 对于 A,含有存在量词“有些”,为存在量词 命题；∴p是q的充分不必要条件. (2)∵p→q·q不能推出p,∴p是q的充分不必要条件. 对于 B,含有全称量词“都有”,为全称量词命题； (3)∵p不能推出q,q→p,∴p是q的必要不充分条件. 对于C,含有存在量词“存在一个”,为存在量词命题； 对于 D,含有存在量词“有一条”,为存在量词命题.故(4)∵ab=0时，|ab|=ab,∴“|ab|=ab”不能推出“ab> 0”,即 p不能推出q. 选 B. 而当ab>0时，有|ab|=ab,即q→p. ∴p是q的必要不充分条件. (2)AD 由题意，选项 A中有存在量词“某些”,选项 D 中有存在量词“存在”,均为存在量词命题，选项 B,C中 都有全称量词“都是”,均是全称量词命题.故选 AD.跟踪训练 1.解 (1)因为a=b→ac=bc,而ac=bc-a=b,所以p是q 的充分不必要条件. 跟踪训练 1.解 (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°,故 为全称量词命题.(2)因为a+5是无理数→a是无理数，并且a是无理数→ a+5是无理数，所以p是q的充要条件. (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 命题.(3)因为a2+b2=0→a=b=0,并且a=b=0→a2+b2=0, 所以 p是q的充要条件. (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称 量词命题.(4)因为A∩B=A→AB→CA≥B,并且CB [A→B≥A→A∩B=A,所以p是q的充要条件. (4)含存在量词“有些”,故为存在量词命题. 探究二 (5)可改写为存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立，故 为存在量词命题.[例2] [证明] (1)必要性：在等腰梯形ABCD中， AB=DC,∠ABC=∠DCB, 探究二 又∵BC=CB,∴△BAC≌△CDB,∴AC=BD. [例2][解](1)因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1, (2)充分性：如图，过点D作DE// D 所以“3x∈Z,x3<1”是真命题. AC,交 BC的延长线于点E. ∵AD//BE,DE//AC, (2)真命题，如梯形. (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系 知，它是真命题. EB C∴四边形ACED是平行四边形. ∴DE=AC. (4)因为O∈N,02=0,所以命题“Vx∈N,x2>0”是假 命题.∵AC=BD,∴BD=DE,∴∠E=∠1. 又∵AC//DE.∴∠2=∠E,∴∠1=∠2. 在△ABC和△DCB中， (AC=DB, 跟踪训练 2.解 (1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题. (1)所有的等边三角形都有三边对应成比例，所以该命题 是真命题.∠2=∠1, RC=(R (2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题 是真命题.∴△ABC≌△DCB.∴AB=DC. (3)存在x?=-5,x?=-3,x?<x,但(-5)2>(-3)2, 所以该命题是假命题. ∴梯形 ABCD为等腰梯形.由(1)(2)可得，梯形 ABCD 为等腰梯形的充要条件是AC=BD. 跟踪训练 (4)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2 +2x+3=0的实数x不存在，所以该命题是假命题.2.证明 先证明充分性： 若a2-b2=1,则a1-b?-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2= a2+b2-2b2=a2-b2=1,结论成立. 牛刀小试 A 由已知“存在x∈{x|0<x<3},使得等式2x-m=0 成立”是假命题，等价于“任意的x∈{x|0<x<3},使得 等式 2x-m≠0成立”是真命题，又因为0<x<3,所以0 所以“a2—b2=1”是“a1—b1—2b2=1”成立的充分条件. 再证明必要性： 若a?-b?-2b2=1,则a?-b?-2b2-1=0, <2x<6,要使2x≠m,则需m≤0或m≥6. 5