1.3 集合的基本运算-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 变式训练 1.(变条件)若将[例 3]中的集合 A 改为“{x |-2<x<5}”,其他条件不变，求实数m的取值 范围. 教材 集合中的新定义问题 拓展 [例] 定义集合运算 A×B={c|c=a+b,a∈A,b∈ B},设A={0,1,2},B={3,4,5},则集合A×B的 真子集个数为 () A.32 B. 31 C. 30 D.14 [解析]由题意，得A×B={3,4,5,6,7},其子集 个数为2?=32,而真子集个数为32-1=31. [答案] B 2.(变条件)若将[例3]中的“B至A”改为“A≤B”,其他 条件不变，求实数m的取值范围. 素养提升Ⅱ 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约 定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情 景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联 系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题 的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特 点，弄清新定义的性质，按新定义的要求“照章办事”,逐 条分析、验证、运算，使问题得以解决. 提示 请完成《素能提升训练》训练三 1.3 集合的基本运算 第1课时并集与交集 [学习任务] 1.理解两个集合的并集与交集的含义.会求两个简单集合的并集和交集.(重点) 2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. (难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一并集 1.并集的概念 (1)文字语言：由所有_ 的元素组成 的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB (读作“A并B”). (2)符号语言：AUB= (3)图形语言： AUB 2.并集的运算性质 (1)AUB=BUA; (2)AUA=A; (3)AUO=A; (4)AUB=A?B∈A. 知识点二交集 1.交集的概念 (1)文字语言：由所有_ 的元素组成 的集合，称为集合A与B的交集，记作 (读作“A交B”). (2)符号语言：A∩B=_ (3)图形语言： A| B 2.交集的运算性质 (1)A∩B=B∩A; (2)A∩A=A; (3)A∩0=0; (4)A∩B=A?ACB. 7 ?高中数学·必修 第一册 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一并集的运算 [例1](1)(石家庄高一月考)已知集合A={1, 2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则AUB等于 () A.{1,2,3} B.{-1,1,2,3} C.{1,2,3,5} D.{-1,2,3,5} (2)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1}, 则 AUB等于 () A.{x|-1<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>-1 D.{x|x>1} Ⅱ规律方法 求集合并集的两种方法 (1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利 用并集的定义求解. (2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数 组成的数集，则可以借助数轴分析求解. ?跟踪训练 1.(1)已知集合A={x|x2+2x-3=0},B={-1, 1},则 AUB等于 () A.{1} B.{-1,1,3} C.{-3,-1,1} D.{-3,-1,1,3} (2)已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或 x>5},则 MUN等于 () A.{x|x<-5,或 x>-3} B.{x|-5<x<5} C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3,或x>5} 探究二交集的运算 [例2](1)设集合A={x|x2-x=0},B={x|x2+ x=0},则集合A∩B等于 () A.0 B.{0} C. D.{-1,0,1} (2)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈ R},则A∩B= (3)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤ 4},则 A∩B等于 () A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} Ⅱ规律方法|Ⅱ 求两集合交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合 的公共元素即可. (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交 集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形 所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. ?跟踪训练 2.(1)设集合 M={a|-l<a≤3,a∈Z},N={-1, 0,1,2},则M∩N= () A.{a|-l<a≤2} B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2,3} D.{0,1,2,3} (2)已知集合A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B= {(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z },则 A ∩ B= 探究三利用交集、并集求参数的取值范围 [例3](1)已知集合A={1,3,√m},B={1,m},AUB =A,则 m等于 () A.0 或√3 B.0或 3 C.1或3 D.1或 3 (2)已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x< -1,或 x>5}.若A∩B=0,则实数a的取值范 围为 · 规律方法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...... (1)此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的 关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式 (组),求解即可，特别要注意端点值的取舍. (2)当集合的元素离散时，常借助集合的关系列关于参 数的方程(组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意. ?跟踪训练 3.(1)(湖南常德第一中学高一月考)已知集合A= {x|x>3},B={x|x>m},且AUB=A,则实数 m的取值集合是 () A.{m|m>3} B.{m|m≥3} D.{m|m≤3}C.{m|m<3} (2)(多选)(江苏常州第一中学高一期中)已知集 合A={x|x2=1},B={x|ax=1},且A∩B=B, 则实数a的取值可以是 () A.-1 B.0 C.1 D.2 易 错 忽视空集的特殊性 警 示 [例]已知A={x∈R|x<-2,或x>3},B={x∈ R|a≤x≤2a-1}.若AUB=A,求实数a的取值 范围. [错解]∵AUB=A,∴BA, 2-A从而有 解得 a>3. 故实数a的取值范围是a>3. 8 第一章 集合与常用逻辑用语 [错因分析]由并集的定义容易知道，对于任何 一个集合A,都有AUO=A,所以错解忽略了B =2的情况. [正解]∵AUB=A,∴BCA. ①当 B≠0时，解法同上，得到 a>3; ②当 B=0时，由a>2a-1,得a<1. 综上所述，实数 a的取值范围是a<1或 a >3. Ⅱ误区警示|Ⅱ 有两个独特的性质，即(1)对于任意集合A,皆有A ∩O=0;(2)对于任意集合A,皆有AU=A.因此，如 果 A∩B=0,就要考虑集合A或 B可能是；如果 AU B=A,就要考虑集合B可能是0. 提示 请完成《素能提升训练》训练四 第 2 课时补集 [学习任务] 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.(重点) 3.会用Venn图、数轴进行集合的运算.(重点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一全集与补集 1.全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题 中涉及的 ,那么就称这个集合为全集. (2)记法：全集通常记作 2.补集 (1)文字语言：对于一个集合A,由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U的补集，记作 (2)符号语言：CA= u (3)图形语言： [uA 3.补集的性质 (1)AU(E?A)= (2)A∩(CA)= (3)[,U= A ,lv=U,[(CA)= (4)(C?A)∩(C?B)= (5)(CA)U(C?B)= 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一补集的运算 [例1](链接教科书第13页例5)(1)设全集 U= {1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则CM等于() A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6} (2)若全集U={xl-3≤x≤3,x∈R},A=(x|-3 ≤x≤0,或1<x≤2},则[A= Ⅱ规律方法|Ⅱ 求集合补集的两种方法 (1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助 Venn 图求解. (2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助 数轴，利用数轴分析法求解. 口跟踪训练 1.(1)(天津高一期中)设全集U={-3,-2,-1,0, 1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3}, 则 A∩(CB)等于 () A.{-3,3} B.{0,2} C.{-1,1} D.{-3,—2,-1,1,3} (2)若全集 U={x∈R|-2≤x≤2},则集合 A= {x∈R|-2≤x≤0}的补集[A 为 () A.{x∈R|0<x<2} B.{x∈R|0≤x<2} C.{x∈R|0<x≤2} D.{x∈R|0≤x≤2} 探究二集合交、并、补的综合运算 [例2](1)(山西怀仁市第一中学校期末)已知集 合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,4, 5},则(CA)∩B= () A.{4,5} B.{3,4,5,6} C.{4,5,6} D.{1,2,4,5,6} 9 ?高中数学·必修 第一册 (2)已知全集U={x|x≤4},集合 A={x l-1<x<2},B={x|O≤x≤3},求A∩B,(CA) UB,A∩(CB),C(AUB),(CA)∩(CB), C(A∩B),(CA)U CB. ?变式训练 1.(变条件)将本例中条件“(CuA)∩B=”改为 “(CA)∩B=B”,其他条件不变，则m的取值范 围又是什么? Ⅱ规律方法|| 集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素 一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求 解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知 集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的 运算.解答过程中要注意边界问题. 2.(变条件)将本例中条件“([?A)∩B=”改为 “([?B)UA=R”,其他条件不变，则m的取值范 围又是什么? 口跟踪训练 2.(1)设全集U=MUN={1,2,3,4,5},M∩C,N ={2,4},则N等于 () A.{1,2,3} B.(1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} (2)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x< 10},则C(AUB)= ,(CgA)∩B= 探究三根据补集运算求参数(范围) [例3] 设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x <4},全集U=R,且([A)∩B=,求实数m的 取值范围. 川规律方法Ⅱ 由集合的补集求解参数的方法 (1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时， 可利用补集定义求解. (2)如果所给集合是无限集，求与集合交、并、补运 算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解. 教材 集合运算中的元素个数问题 拓 展 在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元 素的个数问题，我们常用Venn图表示两集合的交、 并、补集.如果用card表示有限集中元素的个数，如 何确定集合A∩B,AUB元素的个数? [例] 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、 钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水，共6种，第二次 进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面，共4种， 两次一共进了几种货? [提示]两次一共进了6+4—2=8种. [问题探究] 1.本例中，用集合A表示第一次进货的种数，用集合 B表示第二次进货的种数，问：card(A),card(B)是 多少? [提示] card(A)=6,card(B)=4. 2.由本例中数据，探究 card(A),card(B), card(AUB),card(A∩B)之间有什么关系呢? 试借助 Venn图说明此关系. [提示] 对任意两个有限集合A,B,有card(AUB) =card(A)+card(B)-card(A∩B). 如图所示，设①表示A中不含A∩B的区域里的 元素个数；②表示B中不含A∩B的区域里的元 素个数；③表示A∩B区域里的元素个数. 10 第一章 集合与常用逻辑用语 A ① AnB) ③ B ② 则 card(AUB)表示 A和B区域里一共有的不同 元素的个数，即 card(AUB)=①+②+③; card(A)表示集合 A的区域里的元素个数， 即 card(A)=①+③; card(B)表示集合B的区域里的元素个数， 即 card(B)=②+③. 注意到 card(A)+card(B)-card(A∩B)=(① +③)+(②+③)-③=①+②+③=card(AU B),则结论得证. 口牛刀小试 1.若 card(M)=12,card(P)=8,则 card(MU P)的 最大、最小值分别是 () A.12,8 B.20,8 C.20,12 D.20,4 2.(江西宜春高一月考)某中学的学生积极参加体育 锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60 名学 生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜 欢足球又喜欢游泳的学生有 () A.62名 B.56 名 C.46 名 D.42 名 提示，请完成《素能提升训练》训练五 1.4 充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 AI得学助手 直热答程 配查答案 全面梳到 查薄补缺 [学习任务] 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.(重点) 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一命题的概念 1.命题 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达 的，可以判断 _的 叫做命题 (2)分类：判断为 的语句是真命题，判断 为 的语句是假命题. (3)结构形式：“若p,则q”“如果 p,那么 q”等形式 的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论. 2.推出符号“→”的含义 (1)一般地，“若p,则q”为_ ,是指由p通 互动探究解疑难 过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推 出q,记作“ (2)如果“若p,则q”为 ,那么由条件 p不 能推出结论q,记作“ 知识点二充分条件与必要条件 一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理 可以得出q.这时，我们就说，p是q的_ 条 件，q是p的 条件.如果“若 p,则 q”为假 命题，那么由条件p不能推出结论q,我们就说 p 不是q的充分条件，q不是p的 条件. 要点归纳 重难突破 探究一充分条件的判断 [例1](链接教科书第18页例1)下列命题中，p 是否是q的充分条件? (1)p:a+b=0,q:a2+b2=0; (2)p:四边形的对角线相等，q:四边形是矩形； (3)p:x=1,q:x2-4x+3=0; (4)p:m<-1,q:x2-x-m=0无实根. Ⅱ规律方法|⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯越 充分条件的两种判断方法 (1)定义法 第一步 人 第二步 第三步 确定谁是条件，谁是结论 尝试由条件推结论 若条件能推出结论，则条件 为结论的充分条件，否则条 件就不是结论的充分条件 (2)命题判断方法 若命题“若 p,则q”是真命题，则p是q的充分条 件；若命题“若p,则q”是假命题，则p不是q的充分 条件. 11 则有 解得< 即 2≤m<3. 综上可得，m的取值范围是{m|m<3}. 2.解 当ACB时，如图所示， A B m+1 -2 5 2m-1:即 ∴m不存在，即不存在实数m使ACB. x 1.3集合的基本运算 第1课时并集与交集 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)属于集合A或属于集合B(2){x|x∈ A,或 x∈B} 知识点二 1.(1)属于集合A且属于集合B A∩B (2){x|x∈A,且x∈B} 【互动探究解疑难】 探究一 [例1](1)C∵集合A={1,2,3},∴B={y|y=2x-1, x∈A}={1,3,5},∴AUB={1,2,3,5}.故选 C. (2)C 如图，利用数轴，得AUB={x|x>-1}.故选C. -2 -10 1 2 3 x 跟踪训练 1.(1)C A={-3,1},B={-1,1},则AUB={-3,-1, 1},故选 C. (2)A 在数轴上表示集合 M,N,可知MUN={x|x< -5,或 x>-3}.故选 A. N NM -5-3 0 5 方 探究二 [例2](1)B 因为A={x|x2-x=0}={0,1},B={x|x2 +x=0}={0,-1},所以A∩B={0}.故选B. (2)[解析]由题意，得A∩B={1,6}. [答案] {1,6} (3)A在数轴上表示出集合A与B,如图. B A] -2· 庄-101234 则由交集的定义得，A∩B={x|0≤x≤2}.故选 A. 跟踪训练 2.(1)B 因为M={a|-1<a≤3,a∈Z},所以M={0,1, 2,3}.又N={-1,0,1,2},所以 M∩N={0,1,2}.故 选 B. (2)解析 A,B都表示点集，A∩B表示集合A中在直线 x+y-1=0上的所有点组成的集合，代入验证可得A∩ B={(0,1),(-1,2)}. 答案{(0,1),(-1,2)} 探究三 [例3](1)B ∵AUB=A,∴BCA.又A={1,3,√m}, B=(1,m},∴m=3或m=√m.由m=√m,得m=0或 m=1.但m=1不满足集合中元素的互异性，舍去，故 m =0或 m=3. (2)[解析] ①若A=0,则A∩B=,此时2a>a+3, 即 a>3. ②若A≠0,由A∩B=0,可得 (2a≥-1, a+3≤5,解得-÷≤a≤2 (2a≤a+3, B A B -1 2a a+35 等 {0|-÷<a<2.或a>3}.综上所述，实数a的取值范围是 {a|-÷≤a≤2.或a>3}[答案] 跟踪训练 3.(1)B 因为AUB=A,所以BCA,所以m≥3.故选 B. (2)ABC A={x|x2=1}={-1,1},集合 B表示方程 ax=1的解集.因为A∩B=B,所以BCA.当a=0时， 方程ax=1无解，此时 B=0,符合题意；当 B={1}时，a =1;当 B={-1}时，-a=1,即a=-1.综上所述，a=0 或a=±1.故选 ABC. 第2课时 补集 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)所有元素(2)U 2.(1)不属于集合AlA(2){x|x∈U,且xA} 3.(1)U(2)(3) A(4)[(AUB) (5)C(A∩B) 【互动探究解疑难】 探究一 [例1](1)C 因为U={1,2,3,4,5,6},M=(1,2,4},由 补集的定义，可知[M={3,5,6}. (2)[解析]如图，由补集定义可知[A表示图中阴影 部分，故[A={x|0<x≤1,或2<x≤3}. -3 0 12 x3 [答案] {x|0<x≤1,或2<x≤3} 跟踪训练 1.(1)ClB={-2,-1,1}, 则A∩(CB)={-1,1},选C. (2)C求得[A={x|0<x≤2},选C. U A -2 0 2 探究二 [例2](1)A 因为集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2, 3},所以CA={4,5,6}.又B=(3,4,5},所以(CA)∩B ={4,5,6}∩(3,4,5}={4,5}.故选 A. (2)[解] 因为A={x|-1<x<2},B={x|0≤x≤3}, U={x|x≤4}, 3 所以CA={x|x≤-1或2≤x≤4},LB={x|x<0或 3<x≤4},AUB={x|-1<x≤3}, A∩B={x|0≤x<2}, (CA)UB={x|x≤-1或0≤x≤4}, A∩(CB)={x|-1<x<0}, C(AUB)={x|x≤-1或3<x≤4}, (CA)∩(CB)=C(AUB)={x|x≤-1或3<x≤4}, C(A∩B)={x|x<0或2≤x≤4}, (CA)U(CB)=C(A∩B)={x|x<0或2≤x≤4}. 跟踪训练 2.(1)B 画出Venn图， M N 阴影部分为M∩l,N={2,4},∴N={1,3,5}. (2)解析 把全集R和集合A,B在数轴上表示如下： A B 23 7 io # 由图知，AUB={x|2<x<10}, ∴(AUB)={x|x≤2,或 x≥10}. ∵lA={x|x<3,或x≥7}, ∴([gA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. 答案 {x|x≤2,或x≥10}{x|2<x<3,或7≤x<10} 探究三 [例3][解] 法一 (直接法) 由A={x|x+m≥0}={z|x≥-m},得LA={x|x<-m}. 因为 B={x|-2<x<4},(CA)∩B=, CxA B 主0 2-m-2 4 所以-m≤—2,即m≥2, 所以m的取值范围是m≥2. 法二 (集合间的关系) 由(CA)∩B=可知B=A,又B={x|-2<x<4},A= {x|x+m≥0}={x|x≥-m},结合数轴： -m -2 4 x 得一m≤-2,即m≥2. 变式训练 1.解由已知得A={x|x≥-m}, 所以[A={x|x<-m}. 又(CA)∩B=B,所以—m≥4,解得m≤-4. 2.解 由已知得，A={x|x≥-m},l,B={x|x≤-2,或x ≥4},(CB)UA=R, 所以-m≤—2,解得m≥2. 牛刀小试 1.C 0≤card(M∩P)≤8,所以 card(MUP)=card(M)+ card(P)-card(M∩P)=20-card(M∩P),故其最大值 为 20,最小值为12.故选 C. 2.C 将喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分 别记为A,B.由题意可得集合A,B,AUB中的元素个数 分别为 card(A)=60,card(B)=82,card(AUB)=96,则 card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(AUB)=60+82 -96=46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有 46名. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 【自主学习探新知】 知识点一 1.(1)真假 陈述句 (2)真 假 (3)p q 2.(1)真命题 p→q (2)假命题 p→q 知识点二 充分 必要 必要 【互动探究解疑难】 探究一 [例1][解](1)∵a=1,b=-1时，a+b=0, 但a2+b2=2,∴a+b=0>a2+b2=0. ∴p不是q的充分条件. (2)∵等腰梯形的对角线相等， ∴四边形的对角线相等书四边形是矩形. ∴p不是q的充分条件. (3)当x=1时，x2-4x+3=0, ∴x=1→x2-4x+3=0. ∴p是q的充分条件. (4)由方程x2-x-m=0无实根， 得A=1+4m<0,即m<-子. :m<-1>m<-÷,即p→q, ∴p是q的充分条件. 跟踪训练 1.解析 (1)①∵(x-2)(x-3)=0, ∴x=2或x=3,不能推出x-2=0. ∴p不是q的充分条件. ②∵两个三角形相似，不能推出两个三角形全等， ∴p不是q的充分条件. ③∵m<-2,∴l2+4m<0, ∴方程x2-x-m=0无实根，∴p是q的充分条件. (2)由a>2,b>2→a+b>4,ab>4, ∴是充分条件. 答案 (1)③ (2)充分 探究二 [例2] [解](1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B> ∠C→AC>AB,所以 p是q的必要条件. (2)由x=1→(x-1)(x-2)=0,故p是q的必要条件. 故(1)(2)命题中p是q的必要条件. 跟踪训练 2.AC ∵x>3→x>2,∴A是真命题；∵x=2→x2=4, x2=4+x=2,∴B是假命题；∵A∩B=B→AUB=A, ∴C是真命题；∵q→p,∴p不是q的必要条件，D是假命题. 探究三 [例3][解] p:3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a}. q:-2≤x≤3,即集合 B={xl-2≤x≤3}. 因为 p→q,所以 A≤B, -2 >-号<a<0,所以a≤3, {a|-}≤a<0),所以a的取值范围是 变式训练 1.解 p:a<x<3a,即集合A={x|a<x<3a}. q:-2≤x≤3,即集合 B={x|-2≤x≤3}. 4