第10章 专题02 直线与直线的位置关系（讲义）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 直线与直线的位置关系 【沪教版2020】数学 必修 第三册 教材解读 初中学习的平面几何，研究的是平面上的一些简单图形及其几何性质；从本章开始，我们将把视野从二维的平面拓展到三维的空间；在三维空间中的图形统称为空间图形或立体图形；立体几何所研究的就是一些简单的空间图形及其几何性质； 从平面几何到立体几何，我们要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，更要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；以本章学习的空间直线与平面为例，我们不仅要研究平面这类典型的空间图形，而且要对“直线”有更为深刻的认识；我们生活在一个三维世界中，立体几何的学习有助于我们从几何的角度更好地理解现实的世界，并且锻炼我们的几何直观想象能力；因此，在学习中，要着重注意几何的直观和内涵，不要仅仅停留在表面上的严格推导和论证，还要多画一些示意图来帮助理解，这样才能更好地掌握几何的实质，逐步培养自己的立体感和空间想象能力； 【本章教材目录】第10章 空间直线与平面 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 【本章内容提要】 1、立体几何中的公理及其推论 （1）公理1 如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上； （2）公理2 不在同一直线上的三点确定一个平面； 推论1 一条直线和这条直线外的一点确定一个平面； 推论2 两条相交直线确定一个平面； 推论3 两条平行直线确定一个平面； （3）公理3 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线； （4）公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行； 2、直线与直线的位置关系 （1）有三种可能的位置关系：相交、平行、异面； （2）等角定理　如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等； 推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补； 推论2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； （3）异面直线的定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线； （4）异面直线判定定理：过平面外一点与平面上一点的直线，和此平面上不经过该点的任何一条直线是异面直线； （5异面直线所成的角的定义：两条异面直线平移到相交位置时所得到的锐角或直角，称为这两条异面直线所成的角； 3、直线与平面的位置关系 （1）直线与平面平行的判定定理：如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行； （2）直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的一个平面与此平面相交，那么其交线必与该直线平行； （3）线面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直，就说这条直线与这个平面互相垂直； （4）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面上的两条相交直线都垂直，那么直线与该平面垂直； （5）直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行； 推论1：过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论:2：过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直； （6）线面所成的角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角； （7）三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直； 4、平面与平面的位置关系 （1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （3）一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，一个二面角的大小等于它的平面角的大小； （4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直； （5）平面与平面垂直的性质定理：如果果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两个平面交线的直线与另一个平面垂直； *5、异面直线间的距离 （1）定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条