专题08 奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题08 奇偶性、对称性与周期性（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 12 【考点1】函数的奇偶性 12 【考点2】函数的周期性及应用 16 【考点3】函数的对称性 22 【考点4】函数性质的综合应用 28 【分层检测】 33 【基础篇】 33 【能力篇】 40 【培优篇】 42 考试要求： 1.理解函数奇偶性的含义. 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 1.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 2.对称性的四个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称. 真题自测 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 10．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 11．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 考点突破 【考点1】函数的奇偶性 一、单选题 1．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 三、填空题 5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 . 6．（2024·广东佛山·二模）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为 . 反思提升： 1.判断函数的奇偶性，