(课时作业)1.4.1 第1课时空间中点、直线和平面的向量-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第11页] 1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(－3，0，－6)　　 B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) 解析　＝(3，0，－2)＝(9，0，－6)，故选B． 答案　B 2．(多选)(湖北十堰六校高二期中)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与C1，C重合的任意一点，则能作为直线AA1的方向向量的是(　　) 解析　因为都能作为直线AA1的方向向量．故选ABD． 答案　ABD 3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为(　　) A．(1，－1，1) B．(2，－1，1) C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1) 解析　显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)， 则有即令z＝1，得x＝－2，y＝1，∴n＝(－2，1，1). 答案　C 4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列各点中，在平面α内的是(　　) A．P(1，－1，1) B．Q C．M D．N 解析　对于B，＝，则n·＝(3，1，2)·＝0，∴n⊥，则点Q在平面α内． 答案　B 5．棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________． 解析　由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以DB1＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 答案　(1，1，1)(答案不唯一) 6．已知向量b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，若在直线AB上存在一点E，使得⊥b(O为原点)，则点E的坐标为________________． 解析　＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，因为⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为. 答案　 7．(宜昌一中月考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心．求证：是平面PAC的一个法向量． 8．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A．(1，1，1) B． C． D． 解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1，1)，＝(－1，1，0)，则 ∴x＝y＝z.又单位向量的模为1，故只有B正确． 答案　B 9．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析　∵·＝0，·＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确；又与不平行，∴是平面ABCD的一个法向量，则C正确；由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，∴与不平行，故D错误． 答案　ABC 10．(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 解析　c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得 得解得 答案　AC 11．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为__________，点P的坐标满足的条件为____________． 解析　由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为＝(1，1，1).因为P∈α，所以⊥，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3. 答案　(1，1，1)　x＋y＋z＝3 12．(济宁高二月考)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.则平面OCB1的一个法向量n＝____________． 解析　∵ABCD是正方形，且AB＝， ∴AO＝OC＝1，∴＝(0，1，0). ∵A(0，－1，0)，B(1，0，0)， ∴＝(1，1，0)，∴ ＝(1，1，0). ∵OA＝1，AA1＝，∴OA1＝＝1. 故 ＝(0，0，1)， 故 ＝＋＝(1，1，1). ∵向量n＝(x，y，z)是平面OCB1的法向量， ∴∴ 故y＝0，x＝－z，取x＝1，故z＝－1， 故平面OCB1的一个法向量n＝(1，0，－1). 答案　(1，0，－1)(答案不唯一) 13．求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得＝(1－t)＋t. 证明　必要性：如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t，使得＝t. 又因为＝－，＝－， 所以－＝t(－). 整理，得＝(1－t)＋t. 充分性：因＝(1－t)＋t，则＝－t＋t， ∴－＝t(－)， 即＝t， ∴P，A，B三点共线，即P在直线上． 14．(河北石家庄十七中月考)设全体空间向量组成的集合为V，a＝(a1，a2，a3)为V中的一个单位向量，现建立一个“自变量”是向量，“因变量”也是向量的“向量函数”f(x)：f(x)＝－x＋2(x·a)a，x∈V. (1)设u＝(1，0，0)，v＝，若f(u)＝v，求向量a； (2)对于V中的任意单位向量x，求|f(x)－x|的最大值和此时x和a的夹角． 解　(1)设a＝(x，y，z)，由f(x)＝－x＋2(x·a)a且f(u)＝v，可得－(1，0，0)＋2x·(x，y，z)＝，即(2x2－1，2xy，2xz)＝，解得x＝，y＝0，z＝－或x＝－，y＝0，z＝，故a＝或a＝. (2)设x和a的夹角为α，由于a，x均为单位向量，所以x·a＝|x||a|cos α＝cos α，则|f(x)－x|＝|2x－2(x·a)a|＝＝≤2，当且仅当cos2α＝0，即α＝时，|f(x)－x|取得最大值，为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$