(课时作业) 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第19页] 1. 已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30°　 B．60°　 C．120°　 D．150° 解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝.∴θ＝30°. 答案　A 2．如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，建立空间直角坐标系Bxyz.由于AB＝BC＝AA1，不妨取AB＝2，则B(0，0，0)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，C1(2，0，2)，所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)， 所以＝＝， 所以异面直线EF和BC1所成的角为，故选C． 答案　C 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成的角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，E， F，B1(1，1，1)， ∴＝(0，1，0)， 设平面A1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 即令y＝2， 则可得平面A1EF的一个法向量n＝(1，2，1)， ∴＝＝.故A1B1与平面A1EF所成的角的正弦值为. 答案　B 4．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A(0，0，0)，E(2，0，1)，F(0，2，1)，C(2，2，0)，所以＝(0，－2，1)，＝(－2，0，1).所以平面ECF的一个法向量为n＝(1，1，2).设平面ECF与平面ABCD的夹角为θ.因为m＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，所以cos θ＝|cos ＜m，n＞|＝. 答案　B 5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞＝________． 解析　建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则C(0，2，0)，M(2，0，1)，D1(0，0，2)，N(2，2，1). ∴＝(2，－2，1)，D1N＝(2，2，－1). cos ＜，＞＝＝－. ∴sin ＜，＞＝. 答案　 6．正三棱锥的一个侧面面积与底面面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________. 解析　设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为.由题意，得＝.设侧面与底面所成二面角的平面角为θ，则cos θ＝＝＝，∴θ＝60°. 答案　60° 7．(北京)如图，四面体P­ABC中，PA＝AB＝BC＝1，PC＝，PA⊥平面ABC． (1)求证：BC⊥平面PAB； (2)求二面角A­PC­B的大小． 解　(1)证明　∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥BC． ∵PA＝1，PC＝，∴AC＝＝＝. 又∵AB＝BC＝1，∴AC2＝AB2＋BC2，∴BC⊥AB． 又∵PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB． (2)以点B为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则A(0，1，0)，B(0，0，0)，C(1，0，0)，P(0，1，1)， ∴＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)， 设平面APC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取x＝1，得n＝(1，1，0)， 设平面BPC的一个法向量为m＝(a，b，c)， 则取b＝1，得m＝(0，1，－1)， ∴cos 〈m，n〉＝＝＝， 由图可知二面角A­PC­B为锐角，设二面角A­PC­B的大小为θ，则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝， ∴θ＝，即二面角A­PC­B的大小为. 8．在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　建立如图所示空间直角坐标系． 可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.所以C1D1＝，则有B1(，0，0)，C(，1，)，C1(，1，0)，D(0，1，)，所以＝(0，1，)，＝(－，0，).所以cos 〈，〉＝＝＝. 答案　A 9．如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则平面CBF和平面BDF的夹角的正切值为(　　) A． B． C． D． 解析　如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz. 设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0，0，0)， B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，则 即令x＝1，则y＝，z＝， 所以平面BCF的一个法向量为n＝(1，，). 所以cos 〈n，〉＝，sin 〈n，〉＝， 所以tan 〈n，〉＝. 故二面角C-BF-D的正切值为. 答案　D 10．(江苏南京师范大学苏州实验学校高二上月考)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中， (0≤λ≤1)，当直线DD1与平面MNE所成的角最大时，λ＝(　　) A． B． C． D． 解析　如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则D(0，0，0)，M，N，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝，＝(0，0，1)，＝λ(－1，0，－1)，则E(1－λ，1，1－λ)，＝.设平面MNE的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝1，则m＝是平面MNE的一个法向量．设直线DD1与平面MNE所成的角为α，则sin α＝＝＝，又0≤λ≤1，α∈，所以当λ＝时，sin α有最大值，此时直线DD1与平面MNE所成的角最大． 答案　C 11．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，建立如图所示的空间直角坐标系，则平面BDC1的一个法向量是________(答案不唯一，写出一个坐标即可)，直线CB1与平面BDC1所成角的正弦值等于________． 解析　不妨设AB＝1，则AA1＝2，由题图可知D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，B1(1，1，0)，故＝(1，1，0)，＝(0，1，－2)，＝(1，0，－2).设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝2，x＝－2.故平面BDC1的一个法向量为n＝(－2，2，1)，设CB1与平面BDC1所成角为θ，则sin θ＝＝. 答案　(－2，2，1)　 12．(来宾一中期末)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足＝＋＋，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为________. 解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，所以＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，所以＝＋＋＝，所以点P的坐标为，P点位置如图所示．显然平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，所以令y＝3，得z＝ －2，所以取m＝(0，3，－2)，则cos 〈m，n〉＝＝＝－.由图可知平面PAB与平面ABCD所成二面角为锐二面角，所以该二面角的余弦值为. 答案　 13．(东北师大附中月考)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝. (1)求异面直线AC与A1B1夹角的余弦值； (2)求平面AA1C1与平面A1C1B1夹角的正弦值． 解　(1)以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 依题意，得B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，所以＝(－，－，)，＝(－2，0，0)，所以cos 〈，〉＝＝＝.所以异面直线AC与A1B1夹角的余弦值为. (2)由(1)知C1(，，).易得＝(0，2，0)，＝(－，－，). 设平面AA1C1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即不妨令x1＝，则m＝(，0，)为平面AA1C1的一个法向量． 设平面A1B1C1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即不妨令y2＝，则n＝(0，，)为平面A1B1C1的一个法向量． 所以cos 〈m，n〉＝＝＝， 所以sin 〈m，n〉＝. 所以平面AA1C1与平面A1C1B1夹角的正弦值为. 14．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，在线段AB上是否存在一点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由． 解　假设存在点E，设AE＝a(0≤a≤4). 如图，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz，则有 E(3，a，0)，C1(0，4，2)，D(0，0，0).设平面DEC1的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，4，2)，＝(3，a，0)， 故所以即 令y＝1，得x＝－，z＝－2，即n＝. 又易知平面DEC的一个法向量为m＝(0，0，1)， ∴cos ＜m，n＞＝＝ . 由题意知＝，解得a＝3， 所以在线段AB上存在点E，使平面CDE与平面C1DE的夹角的余弦值为，此时AE＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$