(课时作业) 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第15页] 1．两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是(　　) A．－3　 B．6　 C．－6　 D．－12 解析　α⊥β ⇒u·v＝0⇒－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6. 答案　B 2．(浙江温州多校高二期中)已知向量a＝(4，4，5)，b＝(－7，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1⊥l2，则下列几组解中可能正确的是(　　) A．x＝1，y＝3 B．x＝4，y＝3 C．x＝2，y＝4 D．x＝0，y＝2 解析　由题意a·b＝－28＋4x＋5y＝0，即4x＋5y＝28，代入各选项中的值计算，只有C满足2×4＋4×5＝28.故选C． 答案　C 3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) A．，－，4 B．，－，4 C．，－2，4 D．4，，－15 解析　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4.又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，则解得 答案　B 4．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论中正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 解析　因为·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，所以A，B正确；又因为与不平行，所以是平面ABCD的一个法向量，所以C正确；因为＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，所以与不平行，所以D错误． 答案　ABC 5．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对． 解析　因为a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直． 答案　0 6．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当＝________时，ON⊥AM. 解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O，N. 设M(0，1，a)(0≤a≤1)， 则·＝(0，1，a)·＝－＋a＝0， ∴a＝.∴当＝时，ON与AM垂直． 答案　 7．(河北部分学校高二期中联考)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥BC，D，E分别为棱C1C，B1C1的中点．证明：平面ACE⊥平面A1BD． 证明　如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，E(0，1，2)，D(0，0，1)，所以＝(2，0，0)，＝(－2，1，2)， ＝(2，0，1)，＝(0，2，－1).设平面A1BD的法向量为m＝(x，y，z)，则即令x＝－1，可得平面A1BD的一个法向量m＝(－1，1，2).设平面ACE的法向量为n＝(a，b，c)，则即令b＝2，可得平面ACE的一个法向量n＝(0，2，－1).因为m·n＝－1×0＋1×2＋2×(－1)＝0，所以m⊥n，所以平面ACE⊥平面A1BD． 8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 解析　以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则A1(1，0，1)，D(0，0，0)， A(1，0，0)，C(0，1，0)， E，F， B(1，1，0)，D1(0，0，1)， A1D＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)， ＝，BD1＝(－1，－1，1)， 则＝－BD1，A1D·＝·＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC. 答案　B 9．(多选)(上海安亭高级中学高二上期中)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，Q为AA1上一动点，则(　　) A．存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B．不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 C．存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 D．不存在点Q使得D1Q与平面B1CD垂直 解析　如图，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(0，1，0)，＝(1，1，1).设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则令x＝1，则m＝(1，0，－1)是平面B1CD的一个法向量．设Q(1，0，t)(0≤t≤1). A × ＝(0，－1，t)，若BQ与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的λ，使＝λm，则(0，－1，t)＝λ(1，0，－1)，等式不可能成立，所以与m不共线，所以不存在点Q使得BQ与平面B1CD垂直 B √ C √ ＝(1，0，t－1)，若D1Q与平面B1CD垂直，则与m共线，则存在唯一的μ，使＝μm，则(1，0，t－1)＝μ(1，0，－1)，得μ＝1，t＝0，所以当Q的坐标为(1，0，0)时，与m共线，此时D1Q与平面B1CD垂直 D × 答案　BC 10．如图所示，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①·≠0；②AB⊥DC；③BD⊥AC；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．错误的结论是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析　建立以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，设等腰直角三角形ABC斜边BC＝2，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(0，0，1)，则＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，0)，从而有·＝0＋0＋1＝1，故①正确，·＝0，故②正确，·＝0，故③正确，易知平面ADC的一个法向量为向量＝(－1，0，0)，平面ABC的法向量设为n＝(x，y，z)，由·n＝x－z＝0，·n＝y－z＝0，令y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝(1，1，1)，·n＝－1，故④错误． 答案　D 11．给出下列命题： ①直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直； ②直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α； ③平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥β； ④平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1. 其中真命题是________．(把你认为是正确命题的序号都填上) 解析　对于①，因为a＝(1，－1，2)，b＝，所以a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，所以a⊥b，所以直线l与m垂直，①正确；对于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，②错误；对于③，因为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，所以n1与n2不共线，所以α∥β不成立，③错误；对于④，因为点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，所以＝(－1，1，1)，＝(－1，1，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，所以即则u＋t＝1，④正确．综上，真命题的序号是①④. 答案　①④ 12．已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则＝________． 解析　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝a，AA1＝c，则A(a，0，0)，E，D(0，0，0)， B(a，a，0)，D1(0，0，c)，O， ＝，＝(a，a，0)，＝， 因为OA⊥平面BDE，所以 解得c＝a，所以＝＝. 答案　 13．如图1所示，在直二面角D­AB­E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. (1)求证：AE⊥平面BCE； (2)求证：平面BDF⊥平面ABCD． 证明　因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥AB．因为二面角D­AB­E为直二面角，所以BC⊥平面AEB．以线段AB的中点O为坐标原点，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点且平行于AD的直线为z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(0，1，2)，D(0，－1，2).设E(x0，0，0)(x0>0)，则＝(－x0，1，2).因为F为CE上的点，所以设＝λ＝(－λx0，λ，2λ)，所以F((1－λ)x0，λ，2λ)， 所以＝((1－λ)x0，λ－1，2λ)，＝(0，2，2)，＝(x0，1，0). 因为BF⊥平面ACE，所以·＝2(λ－1)＋4λ＝0，且·＝(1－λ)x＋λ－1＝0，解得x0＝1或－1(舍去)，λ＝，所以E(1，0，0)，F. (1)因为＝(1，1，0)，＝(1，－1，0)，＝(0，0，2)， 所以·＝0，·＝0， 所以AE⊥BE，AE⊥BC． 又因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面BCE， 所以AE⊥平面BCE. (2)由题意可知，平面ABCD的法向量为＝(1，0，0). 易知＝，＝(0，－2，2)， 设平面BDF的法向量为m＝(x，y，z)， 则取z＝1， 则x＝0，y＝1，所以m＝(0，1，1). 因为m·＝0，所以平面BDF⊥平面ABCD． 14．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明　∵平面ADEF⊥平面ABCD， 平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD， AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝，CH＝3， ∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. (2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(0，2，0)，E(－1，，2). 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设＝λ，则0＜λ＜1，P.设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z). 由＝，＝(0，2，0)，得 即取x＝1，则z＝， 所以m＝为平面PAC的一个法向量． 同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量． 当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$