(课时作业) 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第9页] 1．(安徽黄山屯溪一中月考)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(1，0，2)，且ka－b与2a＋b互相平行，则k＝(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．2 解析　由题意得ka－b＝(k－1，k，－2)，2a＋b＝(3，2，2). ∵ka－b与2a＋b互相平行，∴＝＝，解得k＝－2.故选B． 答案　B 2．(福建A佳大联考)已知空间向量m＝(－1，x，2)，n＝(1，3，y)，其中x>0，y>0，若m⊥n，则xy的最大值是(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得m·n＝－1×1＋3x＋2y＝0，即3x＋2y＝1.因为x>0，y>0，所以1＝3x＋2y≥2，解得xy≤，当且仅当3x＝2y＝，即x＝，y＝时取等号．故选D． 答案　D 3．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到C的距离CM的值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得AB中点M，又C(0，1，0)，所以＝，故M到C的距离为CM＝||＝ ＝. 答案　C 4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则直线A1M与DN的位置关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A1(2，0，2)，M(0，1，0)，D(0，0，0)，N(0，2，1)，∴＝(－2，1，－2)，＝(0，2，1)，∴·＝0，∴A1M⊥DN，又DN⊂平面DCC1D1，A1M⊄平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，且M∉DN，∴直线A1M与DN异面垂直．故选C． 答案　C 5．如果A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(a，3，b＋2)三点共线，那么a－b＝________． 解析　∵A，B，C三点共线，∴＝λ， 即(1，－1，3)＝λ(a－1，－2，b＋4) ＝(λ(a－1)，－2λ，λ(b＋4)). ∴解得∴a－b＝1. 答案　1 6．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则点P的坐标是________． 解析　由已知，＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，由 得解得∴P(－1，0，2). 答案　(－1，0，2) 7．(广东佛山三水华侨中学月考)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5). (1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积； (2)若向量a分别与，垂直，且|a|＝，求a的坐标． 解　(1)由题得＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， ∴||＝，||＝， ∴cos ∠BAC＝＝，∴∠BAC＝60°， ∴所求平行四边形的面积S＝2××××sin 60°＝7. (2)设a＝(x，y，z)，∵a⊥，a⊥，且|a|＝， ∴解得或 ∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1). 8．(多选)已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，则λ的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析　∵a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，∴λa＋b＝(4，1－λ，λ).∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ2－λ－6＝0，解得λ＝3或λ＝－2. 答案　BC 9．已知A(3，3，3)，B(6，6，6)，O为原点，则与的夹角是(　　) A．0 B．π C．π D．2π 解析　因为·＝3×6＋3×6＋3×6＝54， 且||＝3，||＝6，所以cos 〈，〉＝＝1.因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝0.所以〈，〉＝π. 答案　B 10．(北京理工大学附中高二期中)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P长度的最大值为(　　) A．2 B．3 C．2 D． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，B1(2，2，2)，设P(a，b，0)，0≤a≤2，0≤b≤2，则＝(a－2，b－2，－2)，＝(1，2，－2). ∵B1P⊥D1E，∴·＝a－2＋2(b－2)＋4＝0，∴a＋2b－2＝0，则易求得0≤b≤1. | |2＝(a－2)2＋(b－2)2＋4＝(－2b)2＋(b－2)2＋4＝5b2－4b＋8，由二次函数的性质可知，当b＝1时，5b2－4b＋8可取到最大值9，∴线段B1P长度的最大值为3.故选B． 答案　B 11．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________． 解析　由题意知a∥b，所以＝＝. 即 把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0， 解得x＝－2或x＝1. 当x＝－2时，y＝－6； 当x＝1时，y＝3. 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， a与b反向，不符合题意，所以舍去． 当时，b＝(1，2，3)＝a，a与b同向，所以 答案　1，3 12．(重庆十一中月考)已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为________. 解析　因为点Q在直线OP上运动，所以存在实数λ使得＝λ＝(λ，λ，2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－，当且仅当λ＝时，上式取得最小值，此时点Q的坐标为. 答案　 13．(河南郑州四校联考)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点． (1)求的模； 解　(1)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，1，0)，Q(1，0，1)，B1(0，1，2)，A1(1，0，2)， ∴＝(1，－1，1)， ∴||＝＝. ∵0<<<1， 14．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由． 解　∵PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD. 又AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直． 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD. 在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD sin 45°＝1. 设AB＝AP＝t，则P(0，0，t). 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t， ∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0). 假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)， ＝(0，－m，t). 由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2， 即t＝3－m.① 由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2.② 由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③ 由于方程③没有实数根，∴在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$