(课时作业) 1.3.1 空间直角坐标系-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第7页] 1．(多选)在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法不正确的是(　　) A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 解析　因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不正确；由于＝－，所以D正确． 答案　ABC 2．(多选)(河北沧州部分学校高二联考)关于点P(1，－1，2)，下列说法正确的是(　　) A．点P关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1，－1，－2) B．点P关于x轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，2) C．点P关于yOz平面的对称点P3的坐标为(－1，－1，2) D．点P关于y轴的对称点P4的坐标为(－1，－1，－2) 解析　点(x，y，z)关于x轴的对称点为(x，－y，－z)，关于y轴的对称点为(－x，y， －z)，关于平面yOz的对称点是(－x，y，z)，关于平面xOy的对称点是(x，y，－z)，故A选项点P关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1，－1，－2)，故A正确；B选项点P关于x轴的对称点P2的坐标为(1，1，－2)，故B错误；C选项点P关于yOz平面的对称点P3的坐标为(－1，－1，2)，故C正确；D选项点P关于y轴的对称点P4的坐标为(－1，－1，－2)，故D正确．故选ACD． 答案　ACD 3．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 解析　设P(x，y，z)，由题意可知 ∴x2＋y2＋z2＝.∴＝. 答案　A 4．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3，5，4) B． C． D． 解析　由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是. 答案　C 5．(辽阳高二检测)若向量a＝(2，0，－1)，b＝(0，1，－2)，则2a－b＝________． 解析　因为向量a＝(2，0，－1)，所以2a＝(4，0，－2).又向量b＝(0，1，－2)，所以2a－b＝(4，0，－2)－(0，1，－2)＝(4，－1，0). 答案　(4，－1，0) 6．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________． 解析　根据已建立的空间直角坐标系，知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)，则的坐标为(0，2，1)，的坐标为(2，2，1). 答案　(0，2，1)　(2，2，1) 7．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，建立适当的坐标系． (1)写出E，F，G，H的坐标； (2)写出向量，的坐标． 解　(1)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为. 由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝，FN＝， 故F点坐标为.点G在y轴上，其x轴、z轴坐标均为0， 又GD＝，故G点坐标为. 由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点， 故HK＝，CK＝，所以DK＝， 故H点坐标为. (2)＝－＝， ＝－＝. 8．(多选)(三明高二期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 解析　由题意知点B1的坐标为(4，5，3)，A正确；点B的坐标为(4，5，0)，点C1的坐标为(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，B错误；点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，C正确；点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，D正确． 答案　ACD 9．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中O为坐标原点，a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，12，10) D．(4，3，2) 解析　＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k. 答案　A 10．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可得B(1，1，0)，E， ∴＝(1，1，0)，＝， ∴＝－＝－(1，1，0)＝. 答案　C 11．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为__________，的坐标为________． 解析　设{i，j，k}为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知，BG＝BE＝×＝， 所以AG＝＝， 所以＝－k＝， ＝－＝－j－k＝. 答案　　 12．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________. 解析　如图，连接A1C1，C1D，A1D，则E在A1C1上，F在C1D上， 易知EF，∴＝， 即－＝0，∴λ＝－. 答案　－ 13．如图，已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，E，F，G，H分别是棱A′D′，D′C′，C′C和AB的中点，求证E，F，G，H四点共面． 证明　取＝a，＝b，＝c， 则＝＋＋ ＝＋2＋ ＝b－a＋2a＋(＋＋) ＝b＋a＋(b－a－c－a)＝b－c， 所以与b，c共面．即E，F，G，H四点共面． 14．已知a＝(3，4，5)，e1＝(2，－1，1)，e2＝(1，1，－1)，e3＝(0，3，3)，用e1，e2，e3表示a. 解　由题意得e1，e2，e3不共面． 设a＝αe1＋βe2＋λe3， 即(3，4，5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)， 所以解此方程组得 所以a＝e1＋e2＋e3. 学科网（北京）股份有限公司 $$