(课时作业) 1.2 空间向量基本定理-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[对应素能提升训练第5页] 1．(广东珠海二中高二月考)如果存在三个不全为零的实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则a，b，c(　　) A．两两相互垂直 B．可以作为一个基底 C．共面 D．有两个向量互相平行 解析　不妨设x≠0，因为xa＋yb＋zc＝0，则a＝－b－c，故向量a，b，c共面．故选C． 答案　C 2．{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　) A．，－1，－ B．，1， C．－，1，－ D．，1，－ 解析　xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得解得 答案　A 3．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且＝＋m－n，则(　　) A．m＝ B．m＝－ C．n＝ D．n＝－ 解析　根据空间向量基本定理，有＝＋＋AA1，所以m＝，－n＝，即n＝－. 答案　AD 4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则||＝(　　) A．a B．a C．a D．a 解析　因为＝－＝－ ＝＋－(＋＋) ＝＋－(＋＋) ＝＋－， 所以||＝ ＝a. 答案　A 5．(山东师范大学附属中学高二期中)平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1＝________. 解析　由题设，作出示意图． 答案　 6．如图所示，在四面体A-BCD中，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________________． 解析　连接AG交BC于点M，连接AE， 则＝－＝＋－＝＋(－)－×(＋)＝－－＋. 答案　－－＋ 7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．求证：AF⊥CE. 证明　选取{，，}作为空间的一个基底，设＝a，＝b，＝c．由已知条件和三棱柱的性质，得|a|＝2，|b|＝2，|c|＝2，a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0，＝＋＝＋(－)＝－a＋b＋c，＝＋＝－b＋c．因为·＝·＝a·b－b2－c·b－a·c＋b·c＋c2＝0.所以⊥，即AF⊥CE. 8．(多选)下列命题中是真命题的是(　　) ①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底． A．①　　 B．② C．③　　 D．④ 解析　空间任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，易知①②③④均为真命题． 答案　ABCD 9．设O-ABC是四面体，G1是△ ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A． B． C． D． 解析　由已知＝ ＝(＋)＝ ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋，从而x＝y＝z＝. 答案　A 10．(多选)如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 解析　＝＋＝＋，＝ ＋＝＋，∴A1M∥D1P．又A1M与D1P无公共点，∴A1M∥D1P，由线面平行的判断定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1. 答案　ACD 11．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示向量＝_____________________________. 解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝－＋＝a－b＋c. 答案　a－b＋c 12．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为_____________． 解析　＝＋，＝－＝＋－－－＝＋－－－＝－－， 故·＝· ＝2－·－·＋·－2－·＝×4－×8＝0， 即⊥， 则AM与PM所成的角为90°. 答案　90° 13．(黑龙江绥化肇东四中期中)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中， ∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分别为棱CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.求证： (1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EFG∥平面ABD． ∴B1D⊥EG，B1D⊥FG. 又EG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD，平面ABD与平面EFG不重合，∴平面EFG∥平面ABD． 14．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点． (1)求证：DE∥平面ACF； (2)求证：BD⊥AE； (3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0. 依题意得＝c－b，＝a＋b，＝a＋c， 设＝x＋y(x，y∈R)， 则c－b＝x(a＋b)＋y ＝a＋xb＋yc， 因此解得 从而，，共面，又直线DE不在平面ACF内， 因此DE∥平面ACF. (2)证明　依题意得＝b－a，＝c－a－b， 则·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0， 因此⊥，从而BD⊥AE. (3)存在．由AB＝CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝， 假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE， 由O，G，E三点共线， 设＝(1－λ)＋λ ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)， 由CG⊥平面BDE知CG⊥DE，而＝c－b， 因此·＝·(c－b) ＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0， 解得λ＝，即点G是线段EO的中点时，满足题意，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$