(课时作业) 第五章 章末检测卷-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第131页] (本卷满分150分；考试用时120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．－1 120°角所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　－1 120°＝－360°×4＋320°，－1 120°角所在象限与320°角所在象限相同，又320°角为第四象限角，故选D. 答案　D 2．若一工件是扇形，其圆心角的弧度数为2，且该扇形弧所对的弦长也是2，则这个工件的面积为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得扇形的半径为，故该扇形的面积为×2×＝． 答案　A 3．设α是第三象限角，且＝－cos ，则的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，所以的终边在第二象限或第四象限．又＝－cos ，所以cos <0，所以的终边所在的象限是第二象限． 答案　B 4．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 解析　tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)＝·cos 10°＝＝×2sin (20°－30°)＝＝－1.故选C. 答案　C 5．已知sin(α＋β)＝，sin (α－β)＝，则log等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　由sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝， 得∴ ∴＝5，∴log＝log52＝4. 答案　C 6．已知θ∈，sin ＝，则sin 的值为(　　) A． B． C． D． 解析　∵θ∈，∴－θ∈，又sin ＝，∴－θ∈，∴cos ＝＝， ∴sin＝2sin cos ＝＝cos 2θ， ∴cos ＝2cos2－1＝＝sin2θ， ∴sin ＝sin 2θcos ＋cos 2θsin ＝×＋×＝，故选D. 答案　D 7．已知函数f(x)＝2sin x，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　) A． B． C．π D．2π 解析　∵f(x)＝2sin x的周期为2π.∴|x1－x2|的最小值为π. 答案　C 8．将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则函数f(x)·g(x)的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　由题可知g(x)＝sin ＝sin ，f(x)g(x)＝sin 2x sin ＝sin22x－sin2x cos 2x＝＝，所以当sin ＝－1时，y＝f(x)g(x)有最大值，为.故选C. 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是(　　) A．－是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 C．若角α的终边上有一点P(－3，4)，则cos α＝－ D．若角α为锐角，则角2α为钝角 解析　选项A中，－＝－2π＋，是第二象限角，A错误；选项B中，设该扇形的半径为r，则·r＝π⇒r＝3， ∴S扇形＝××32＝，B正确；选项C中， ＝5，∴cos α＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误．故选BC 答案　BC 10．已知ω>0，|φ|<，若x＝和x＝是函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的两条相邻的对称轴，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．y＝g(x)是奇函数 B．y＝g(x)的图象关于点对称 C．y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D．y＝g(x)的周期为2π 解析　∵x＝和x＝π是两条相邻的对称轴，∴T＝2×＝2π，∴ω＝1.∴f(x)＝cos (x＋φ). ①若函数在x＝处取得最大值，则f＝cos ＝1，＋φ＝2kπ，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z.当k＝0时，φ＝－，此时f(x)＝cos ，将f(x)图象向左平移个单位得到g(x)＝cos [(x＋－)]＝cos x．所以B正确． ②若函数在x＝处取得最小值，则f＝cos ＝－1，＋φ＝2kπ－π，k∈Z，φ＝2kπ－π，k∈Z.当k＝1时，φ＝π，∵|φ|<，∴φ不存在． 函数f(x)的最小正周期为2π，故D正确． 答案　BD 11．关于函数f(x)＝sin ＋，有下述四个结论： ①f(x)是偶函数； ②f(x)在区间上单调递增； ③f(x)在上有4个零点； ④f(x)的最大值为2. 其中正确结论的序号是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 解析　对于①，因为x∈R，f(－x)＝sin ＋＝sin ＋＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故①正确；对于②，因为x∈，所以f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，所以f(x)在上单调递减，故②错误；对于③，当x∈时，f(x)＝－sin x－sin x＝－2sin x，此时令f(x)＝0，则有x＝－π或x＝0.当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，此时令f(x)＝0，则有x＝π，所以f(x)在上有3个零点，故③错误；对于④，因为f(x)为偶函数，所以当x≥0时，f(x)＝此时f(x)的最大值为2.由偶函数的对称性可知，当x<0时，f(x)的最大值也为2.所以f(x)的最大值为2，故④正确．故选AD. 答案　AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数y＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin 的图象重合，则的最小值为________. 解析　函数y＝cos (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，得到f(x)＝cos (2x－π＋φ)＝－cos (2x＋φ)＝sin 的图象．又因为f(x)的图象与函数y＝sin 的图象重合，所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，整理得φ＝2kπ－，k∈Z.当k＝0时，φ＝－；当k＝1时，φ＝，所以的最小值为. 答案　 13. 工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班学生想用布料制作一面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的圆心角为60°，外圆半径为60cm，内圆半径为30 cm，则制作这样一面扇面需要的布料面积为________cm2. 解析　由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料为××60×60－××30×30＝450π cm2. 答案　450π 14．化简：sin2＋sin2－sin2α的结果是________. 解析　原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos －sin2α＝1－－＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知0<α<，sin α＝. (1)求的值； (2)求tan 的值． 解　(1)由0<α<，sin α＝，得cos α＝.所以＝ ＝＝20. (2)因为tanα＝＝， 所以tan ＝＝＝. 16．(15分)将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针(看作一个点P)到原点O的距离为r. (1)求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周期； (2)当φ＝，r＝ω＝1时，作出其图象． 解　(1)过P作x轴的垂线，设垂足为M，则MP就是正弦值(图略). ∴y＝r sin (ωt＋φ)，因此T＝. (2)当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin ，其图象可由y＝sin t的图象向左平移个单位长度得到，如图所示 . 17．(15分)在函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的值域． 解　(1)由最低点为M，得A＝2. 由x轴上相邻两个交点之间的距离为， 得＝，即T＝π.故ω＝＝＝2. 由点M在图象上，得2sin ＝－2， 即sin ＝－1，故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝2kπ－(k∈Z).又φ∈， 所以φ＝.所以f(x)＝2sin . (2)由x∈，得2x＋∈. 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2； 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1， 故当x∈时，f(x)的值域为[－1，2]. 18.（17分）已知函数f(x) = (a + 2cos2x) cos(2x +θ)为奇函数，且f()=0，其中a∈R,θ∈（0，π）. （1）求a，θ的值； （2）若f()=,α∈（，π），求sin（α+）. 解 （1）f()=-(a+1)sin θ=0. ∵θ∈(0,π)， ∴a+1=0，即a=-1. ∵f(x)为奇函数， ∴f(0) = (a + 2) cos θ = 0， ∴cos θ=0,即θ=. （2）由(1)知f(x)= (-1 + 2cos2x) cos（2x+）=cos 2x·(- sin 2x)= -sin 4x， ∴f()=-sin α=，∴sin α=. ∵α∈（，π）， ∴cos α=， ∴sin（α+）=sin αcos +cos αsin=. . 19．（17分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为. (1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值. 解 （1）， ，故余弦距离等于. （2）； ， 故，，则. 学科网（北京）股份有限公司 $$