(课时作业) 5.7 三角函数的应用-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第113页] 1．函数y＝2sin 的周期，振幅，初相分别是(　　) A．，2， B．4π，－2，－ C．4π，2， D．2π，2， 解析　∵函数y＝2sin ，∴该函数的振幅是2，初相是，∵x的系数是，∴该函数的周期T＝＝4π，对照四个选项知应选C. 答案　C 2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则人流量是增加的时间段为(　　) A． B． C． D． 解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为，k∈Z. 当k＝1时，t∈，而⊆，故选C. 答案　C 3．一个单摆如图所示，以OA为始边，OB为终边的角θ与时间t(s)满足关系式：θ＝ sin ，则单摆完成5 次完整摆动所花的时间为(　　) A．5 s B．10 s C． s D．5π s 解析　由题可知，该函数的最小正周期T＝＝π，单摆完成5 次完整摆动所花的时间为5π s，故选D. 答案　D 4．(多选)动点A(x，y)在以原点为圆心的单位圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0，1] B．[1，7] C．[8，10] D．[7，12] 解析　设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时，α＝，每秒钟旋转，在t∈[0，1]上，α∈，在[7，12]上，α∈，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的，故选AD. 答案　AD 5．简谐运动y＝sin 的频率f＝________． 解析　f＝＝. 答案　 6．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________． 解析　由T＝＝4可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x≤1时函数单调递减，1＜x＜3时函数单调递增，x＝3时，y＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x值为3，第二个波峰对应的x值为7，所以要区间[0，t]上至少两个波峰，则t至少为7. 答案　7 7．如图，某大风车的半径为2 m，按逆时针方向匀速转动，每12 s旋转一周，它的最低点O离地面0.5 m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t s后与地面的距离为h m. (1)求函数h＝f(t)的关系式； (2)画出函数h＝f(t)(0≤t≤12)的大致图象． 解　(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．过点A作y轴的垂线段，垂足为B，连接O1A. 设点A的坐标为(x，y)， 则h＝y＋0.5. 设∠OO1A＝θ，则cos θ＝， 所以y＝－2cos θ＋2. 又θ＝t，即θ＝t， 所以y＝－2cos t＋2， 则h＝f(t)＝－2cos t＋2.5(0≤t≤12). (2)函数h＝－2cos t＋2.5(0≤t≤12)的大致图象如图所示． 8．音叉是呈“Y”型的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为(　　) A．200 B．400 C．200π D．400π 解析　由题图可得ω>0，最小正周期T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.故选D. 答案　D 9.(江苏南京金陵中学高一期末)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深CD＝－1，锯道AB＝2，则图中的长度为(　　) A． B．π C．π D．π 解析　设圆的半径为r，则OD＝r－CD＝r－(－1)，AD＝AB＝1.由勾股定理可得OD2＋AD2＝OA2，即[r－(－1)]2＋1＝r2，解得r＝，因此OA＝OB＝2.因为AB＝2，所以OA2＋OB2＝AB2，所以∠AOB＝，所以的长度为×，即π.故选B. 答案　B 10. (多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝A sin (ωx＋φ)＋B(0＜φ＜π)，则下列说法正确的是(　　) A．该函数的周期是16 B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C.该函数的解析式是y＝10sin ＋20(6≤x≤14) D．这一天的函数关系式也适用于第二天 解析　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10， ∴A＝10，B＝20. ∵＝14－6，∴T＝16，A正确； ∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin ＋20. ∵图象经过点(14，30)，∴30＝10sin ＋20， ∴sin ＝1， ∴φ可以取，∴y＝10sin ＋20(0≤x≤24)，B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错误． 答案　AB 11．如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U(单位：V)和时间t(单位：s)满足U＝311·sin (ωt＋φ).在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为________(答案用分数表示). 解析　由题意，得T＝0.02，所以ω＝＝100π. 因为＜，所以φ＝0，则U＝311sin (100πt). 在区间内，令311sin (100πt)＝，得100πt＝或100πt＝，可得t1＝，t2＝＝；同理，令311sin (100πt)＝－，可得t3＝，t4＝. 综上所述，电压的绝对值超过的时间为－＋－＝ (s). 答案　 s 12．国际油价P(单位：美元)在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin ＋60，t为天数，A＞0，ω＞0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150时，油价最低，则ω最小值为________． 解析　A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为. 答案　 13．某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表： t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式； (2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间． 解　(1)由数据知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适． 令A＞0，ω＞0，|φ|＜π， 可知A＝，b＝1，T＝12，所以ω＝＝. 把t＝0，y＝1代入y＝sin ＋1， 得φ＝0. 故所求拟合模型的解析式为 y＝sin t＋1(0≤t≤24). (2)由y＝sin t＋1≥0.8，得sin t≥－， 则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)， 即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24， 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当． 14．主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示).已知某噪声声波曲线f(x)＝ A sin (A>0，0≤φ＜π)，其振幅为2，且经过点(1，－2). (1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式； (2)证明：g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)为定值． 解　(1)由振幅为2，可得A＝2，由噪声声波曲线经过点(1，－2)， 得－2＝2sin . 又因为0≤φ＜π，所以φ＝， 所以f(x)的解析式为f(x)＝2sin . 又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反， 所以g(x)＝－2sin . (2)证明　由(1)可知g(x)＝－2sin ，所以g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)＝ －2sin －2sin －2sin ＝ －2－2sin －2sin ＝ sin x－cos x＋2cos x－sin x－cos x＝0. 所以g(x)＋g(x＋1)＋g(x＋2)为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$