(课时作业) 5.5.2 简单的三角恒等变-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019)

[对应素能提升训练第107页] 1．sin 37.5°cos 7.5°＝(　　) A． B． C． D． 解析　sin 37.5°cos 7.5°＝[sin (37.5°＋7.5°)＋sin (37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝.故选C. 答案　C 2．已知cos ＝，则cos x＋cos 等于(　　) A．－ B．± C．－1 D．1 解析　cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos ＝×＝1.故选D. 答案　D 3．已知＝－，则的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为·＝＝＝－1，且＝－，所以＝. 答案　A 4．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos (α＋β)等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　∵cos α＋cos β＝， ∴2cos cos ＝. ∵α－β＝，∴＝， ∴cos ＝. ∴cos ＝， ∴cos (α＋β)＝2cos2－1＝－. 答案　D 5．若cosα＝－，且α∈(π，)，则cos ＝________． 解析　∵α∈(π，)，∴∈(，)， ∴cos ＝－ ＝－. 6．(安徽皖江名校联盟高一期末)函数f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋，x∈[0，π]，则f(x)的单调递减区间是________. 解析　f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋＝sin 2x－cos 2x＝sin . ∵x∈[0，π]，∴2x－∈. 令≤2x－≤，得x∈. 答案　 7．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性． 解　(1)f(x)＝4cos ωx·sin (ωx＋) ＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx ＝(sin2ωx＋cos 2ωx)＋ ＝2sin (2ωx＋)＋. 因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0， 从而有＝π，故ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)＋. 若0≤x≤，则≤2x＋≤. 当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增； 当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减． 综上可知，f(x)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减． 8．已知－sin x＋cos x＝A sin (x－β)，其中A＞0，β∈(0，2π)，则β＝(　　) A． B． C． D． 解析　∵－sin x＋cos x＝2＝2sin ＝A sin (x－β)， ∴－β＝＋2kπ，k∈Z. ∵β∈(0，2π)，∴β＝.故选C. 答案　C 9．在△ABC中，2sin Bsin C＝1＋cos A，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析　由积化和差公式得2sin Bsin C＝2[cos (B＋C)－cos (B－C)]＝－cos (B＋C)＋cos (B－C)＝cos A＋cos (B－C)＝1＋cos A，所以cos (B－C)＝1.因为0<B<π，0<C<π，所以－π<B－C<π，所以B－C＝0，即B＝C.故选A. 答案　A 10．若＜θ＜π，则－ 等于(　　) A．2sin －cos B．cos －2sin C．cos D．－cos 解析　∵＜θ＜π，∴＜＜， ∴sin ＞cos ＞0. ∵1－sin θ＝sin2＋cos2－2sincos ＝(sin －cos )2，(1－cos θ)＝sin2， ∴－ ＝ － ＝sin－cos －sin ＝－cos . 答案　D 11．已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan 的值为________． 解析　由题意得(sin －cos )2＝， 即1－sin α＝，∴sin α＝. ∵450°＜α＜540°，∴cos α＝－， ∴tan ＝＝＝2. 答案　2 12．已知矩形ABCD内接于半径为1的半圆O内，点A和点B在半圆弧上，点C和点D在直径上，则矩形ABCD周长的最大值为________. 解析　如图，设∠AOD＝θ，则矩形ABCD的周长为2sin θ＋4cos θ＝2sin (θ＋φ)，此时tan φ＝2，φ为锐角，所以当φ＋θ＝时，周长有最大值2. 答案　2 13．已知函数f(x)＝sin 2x－sin2x－cos2x. (1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)设锐角三角形ABC的内角分别为A，B，C，且f(C)＝0，若λ＝sin Asin B，求λ的取值范围． 解　(1)f(x)＝sin 2x－sin2x－cos2x＝sin 2x－×－×＝sin 2x－cos 2x－1＝sin －1. 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z). (2)由f(C)＝0，得sin ＝1. 又0＜C＜，所以－＜2C－＜， 所以2C－＝，所以C＝， 所以λ＝sin A sin B＝sin A sin ＝sin A ＝sin2A＋sin A cos A ＝×＋× ＝－cos 2A＋sin 2A ＝－cos . 由解得＜A＜，所以2A＋∈，所以 cos ∈，所以λ∈. 14．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB＝50米，BC＝25米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF＝90°，如图所示． (1)设∠BOE＝α，试将△OEF的周长l表示成含α的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用． 解　(1)∵在Rt△BOE中，OB＝25，∠B＝90°，∠BOE＝α，OE＝. 在Rt△AOF中，OA＝25，∠A＝90°，∠AFO＝α， ∴OF＝. 又∠EOF＝90°， ∴EF＝ ＝ ＝， ∴l＝OE＋OF＋EF＝＋＋， 即l＝. 当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α＝； 当点E在点C时，这时角α最大，求得此时α＝. 故此函数的定义域为[，]. (2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可． 由(1)得，l＝，α∈[，]， 设sin α＋cos α＝t，则sin α·cos α＝， ∴l＝＝＝， 由≤α＋≤，得≤t≤， ∴≤t－1≤－1，从而＋1≤≤＋1， 当α＝，即BE＝25时，lmin＝50(＋1). 所以当BE＝AF＝25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20 000(＋1)元． 学科网（北京）股份有限公司 $$