(课时作业) 5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第103页] 1．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　) A．2 B．1 C． D．4 解析　∵tan (α＋β)＝＝4， 且tan α＋tan β＝2， ∴＝4，解得tan αtan β＝. 答案　C 2．已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　由已知得2tan θ－tan ＝2tan θ－＝2tan θ－＝7，解得tan θ＝2. 答案　D 3．若tan β＝3，tan (α－β)＝－2，则tan α等于(　　) A． B．－ C．1 D．－1 解析　tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝. 答案　A 4．已知tan (－α)＝－，sin β＝3sin (2α＋β)，则tan (α＋β)＝(　　) A． B．－ C．－ D．－3 解析　因为tan (－α)＝－，所以tan α＝.因为sin β＝3sin (2α＋β)，所以sin [(α＋β)－α]＝3sin [(α＋β)＋α]，所以sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝3sin (α＋β)cos α＋3cos (α＋β)sin α.整理可得－2cos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α，所以tan (α＋β)＝ －2tan α＝－2×＝－，故选B. 答案　B 5．计算tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝________． 解析　∵tan (72°－42°)＝＝， ∴tan 72°－tan 42°＝(1＋tan 72°tan 42°)， ∴tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝. 答案　 6．(河北石家庄二中高一期末)对任意实数a＞0且a≠1，函数y＝ax－3＋1的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tan ＝________. 解析　因为函数y＝ax－3＋1的图象经过定点P(3，2)，点P在角θ的终边上，所以tan θ＝，所以tan ＝＝＝－. 答案　－ 7．已知sin (α－)＝，cos (－β)＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan 的值． 解　由题意，得cos (α－)＝－， sin (－β)＝－， ∴tan (α－)＝－，tan (－β)＝， ∴tan ＝tan [(α－)－(－β)] ＝ ＝＝－. 8．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．tan (A＋B)＝－ B．tan A＝tan B C．cos B＝sin A D．tan A tan B＝ 解析　因为∠C＝120°，所以∠A＋∠B＝60°. 所以tan (A＋B)＝＝.故A错误． 因为tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝， 所以tan A tan B＝①，所以D正确． 又因为tan A＋tan B＝②， 由①②联立解得tan A＝tan B＝， 所以cos B＝sin A．故B，C正确．综上，B，C，D正确．故选BCD. 答案　BCD 9．已知α为锐角，且tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝2，则角α等于(　　) A． B． C．π D． 解析　∵tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋kπ(k∈Z). 又∵α为锐角，∴α＝－＝. 答案　C 10．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则＋的最小值为(　　) A． B． C． D．1 解析　∵在△ABC中，tan C＝－tan (A＋B)，∴＋＝－＝－，∵tan B＝2tan A，∴－＝－＝＋.∵角A为锐角，∴tan A＞0，∴＋≥2＝，当且仅当＝，即tan A＝时，等号成立，∴＋的最小值为. 答案　C 11．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则tan 的值等于________. 解析　tan ＝tan ＝＝＝. 答案　 12．已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝，tan β＝，tan γ＝，则α＋β＋γ＝________． 解析　因为tan (α＋β)＝ ＝＝， tan (α＋β＋γ)＝＝＝1. 因为α，β，γ∈(0，)，所以α＋β∈(0，π). 又tan (α＋β)＝>0，所以α＋β∈(0，)， 所以α＋β＋γ∈(0，π)，所以α＋β＋γ＝. 答案　 13．已知在锐角△ABC中，sin (A＋B)＝，sin (A－B)＝. (1)求证：tan A＝2tan B； (2)求tan A的值． 解　(1)证明　sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，① sin (A－B)＝sin A cos B－cos A sin B＝②. ①＋②并化简，得sin A cos B＝. ①－②并化简，得cos A sin B＝. ∴＝2，∴＝2，即tan A＝2tan B. (2)∵A＋B＋C＝π， ∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝， ∴tan C＝(△ABC是锐角三角形). 又∵tan (A＋B)＝－tan C＝－， tan A＝2tan B， ∴tan (A＋B)＝＝＝－， 解得tanB＝或tan B＝(舍去)， ∴tan A＝2＋. 14．在①角α的终边经过点P(1，2)，②α∈(0，)，sin α＝，③α∈(0，)，sin α＋2cos α＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题：已知________，且tan (α＋β)＝4，求tan β的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　选择条件①，∵角α的终边经过点P(1，2)， ∴tan α＝2， 则tan (α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 选择条件②，∵α∈(0，)，sin α＝， ∴cos α＝＝，∴tanα＝＝， 则tan (α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 选择条件③，∵α∈(0，)，sin α＋2cos α＝， ∴由sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝，cos α＝， ∴tan α＝＝3， 则tan (α＋β)＝＝＝4， 解得tan β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$