(课时作业) 5.4.3 正切函数的性质与图象-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第97页] 1．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 解析　当x∈时，0≤tan x≤1，结合题意可知，实数m的最小值为1.故选A. 答案　A 2．函数f(x)＝tan 的单调增区间是(　　) A．，k∈Z B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 解析　由－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z， 得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， 故f(x)的单调增区间是，k∈Z. 答案　C 3．若f(x)＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期为1，则f 的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　∵f(x)＝tan ωx(ω＞0)的最小正周期为1，∴＝1，又ω＞0，∴ω＝π，即f(x)＝tan πx，则f ＝tan ＝，故选D. 答案　D 4．已知函数y＝tan ωx在内是减函数，则(　　) A．0＜ω≤1 B．－1≤ω＜0 C．ω≥1 D．ω≤－1 解析　∵y＝tan ωx在内是减函数， ∴ω＜0且T＝≥π，∴－1≤ω＜0. 答案　B 5．(天津联考)函数f(x)＝tan x的单调递增区间为________________. 解析　由－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z，解得6k－3＜x＜6k＋3，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间为(6k－3，6k＋3)，k∈Z. 答案　(6k－3，6k＋3)，k∈Z 6．若函数f(x)＝2tan 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________． 解析　由题意知1＜＜2，即＜k＜π. 又k∈N，所以k＝2或k＝3. 答案　2或3 7．利用图象，求不等式－＜tan 2x≤1的解集． 解　y＝tan 2x的图象如图所示： 令tan 2x＝1，则2x＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z；令tan 2x＝－，则2x＝－＋kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z. 又因为－＜tan 2x≤1，所以－＋＜x≤＋，k∈Z，即原不等式的解集为，k∈Z. 8．函数y＝＋的定义域为(　　) A． B． C．∪ D．∪ 解析　由题意可得 即 得 解得－2≤x≤－或－＜x≤， 所以函数y＝＋的定义域为∪. 答案　C 9．函数y＝tan 在一个周期内的图象是下图中的(　　) 解析　由函数周期T＝＝2π，排除选项B，D. 将x＝π代入函数解析式中， 得tan ＝tan 0＝0， 故函数图象与x轴的一个交点为. 答案　A 10．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f 的值是(　　) A．－ B． C．1 D． 解析　∵f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，∴函数f(x)的最小正周期T＝，即＝，则ω＝2，则f(x)＝tan 2x，则f ＝tan ＝tan ＝.故选D. 答案　D 11．函数y＝sin x与y＝tan x的图象在区间[0，2π]上交点的个数为________． 解析　因为当x∈时，tan x＞x＞sin x， 所以当x∈时，y＝sin x与y＝tan x没有公共点，因此函数y＝sin x与y＝tan x在区间[0，2π]内的图象如图所示， 观察图象可知，函数y＝tan x与y＝sin x在区间[0，2π]上有3个交点． 答案　3 12．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论： ①f(x＋π)＝f(x)；②f(－x)＝f(x)；③f(0)＝1；④＞0；⑤f＞. 当f(x)＝tan x时，正确结论的序号为________． 解析　由于f(x)＝tan x的周期为π，故①正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故②不正确；f(0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故④正确；⑤由函数f(x)＝tan x的图象可知，函数在区间上有f＞，在区间上有f＜，故⑤不正确． 答案　①④ 13．(衡州高一检测)已知函数f(x)＝x2＋2x tan θ－1，其中θ≠＋kπ，k∈Z. (1)当θ＝－，x∈[－1，]时，求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若函数g(x)＝为奇函数，求θ的值； (3)求使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数的θ的取值范围． 解　(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝－. ∵x∈[－1，]，且f(x)的图象开口向上， ∴当x＝时，f(x)min＝－； 当x＝－1时，f(x)max＝. (2)由题可知g(x)＝x－＋2tan θ， ∵g(x)为奇函数， ∴0＝g(－x)＋g(x)＝－x＋＋2tan θ＋x－＋2tan θ＝4tan θ， ∴tan θ＝0， ∴θ＝kπ，k∈Z. (3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－tan θ. ∵f(x)在区间[－1，]上是单调函数， ∴－tan θ≥或－tan θ≤－1， 即tan θ≤－或tan θ≥1， ∴－＋kπ＜θ≤－＋kπ或＋kπ≤θ＜＋kπ，k∈Z， 故θ的取值范围是 ∪，k∈Z. 14．(辽宁铁岭清河高级中学高一月考)已知函数f(x)＝tan ，ω＞0. (1)若ω＝2，求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若f(x)在[0，π]上是增函数，求ω的取值范围； (3)若方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 022个根，且b－a的最小值不小于2 022，求ω的取值范围． 解　(1)若ω＝2，则f(x)＝tan ，所以函数f(x)的最小正周期为. 由2x＋＝，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z， 所以函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z. (2)因为f(x)在[0，π]上是增函数，所以由x∈[0，π]得ωx＋∈⊆，所以ωπ＋＜. 又ω＞0，所以ω∈. (3)因为f(x)＝，所以tan ＝， 则ωx＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝，k∈Z. 因为方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 022个根， 所以在[a，b]上x＝，k∈Z至少有2 022个根， 所以b－a至少包含2 021个周期，即b－a≥2 021T＝2 021·，所以b－a的最小值为2 021·. 又b－a的最小值不小于2 022，所以2 021·≥2 022， 所以ω∈. 学科网（北京）股份有限公司 $$