(课时作业) 5.4.2 第2课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第95页] 1．函数f(x)＝－sin 3x的单调递增区间为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析　令＋2kπ≤3x≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋≤x≤＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 答案　B 2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　) A．y＝sin (2x＋) B．y＝cos (2x＋) C．y＝sin (x＋) D．y＝cos (x＋) 解析　因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos (2x＋)＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A. 答案　A 3．函数f(x)＝sin 的值域是(　　) A．[－1，1] B． C． D． 解析　∵0≤x≤，∴0≤2x≤π，∴－≤2x－≤，由正弦函数的性质知f(x)∈. 答案　B 4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为(　　) A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2 解析　y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2. 答案　D 5．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为________． 解析　∵1<<2<3<π， sin (π－2)＝sin 2，sin (π－3)＝sin 3. y＝sin x在(0，)上递增，且0<π－3<1<π－2<， ∴sin (π－3)<sin 1<sin (π－2)， 即sin 3<sin 1<sin 2. 答案　sin 3<sin 1<sin 2 6．函数y＝2－sin x取得最大值时x的值为________． 解析　当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，函数y＝2－sin x的最大值为3. 答案　－＋2kπ(k∈Z) 7．已知函数f(x)＝cos ，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值． 解　(1)因为f(x)＝cos ，x∈R，所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)因为x∈，所以2x－∈.所以当2x－＝0，即x＝时，f(x)max＝f ＝；当2x－＝，即x＝时，f(x)min＝f ＝－1.所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝. 8．已知函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意得 则 又ω＞0，所以所以k＝0，则0＜ω≤. 答案　B 9．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　　) A． B． C．2π D．4π 解析　作出y＝sin x的一个简图， 如图所示，∵函数的值域为， 且sin ＝sin ＝，sin ＝－1， ∴定义域[a，b]中b－a的最小值为－＝， 定义域[a，b]中b－a的最大值为2π＋－＝， 故可得，最大值与最小值之和为2π. 答案　C 10．(多选)已知函数f(x)＝cos (2x－)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)在区间上单调递增 B．若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为 C.函数f(x)的图象与g(x)＝－sin (2x－)的图象重合 D．函数f(x)在区间上单调递增 解析　当x∈时，2x－∈⊆[0，π]，所以f(x)在区间上单调递减，故A错误；若f(x)的定义域为(0，)，则2x－∈(－，)，其值域为，故B错误；g(x)＝－sin (2x－) ＝－sin (－＋2x－)＝sin ＝cos(2x－)，故C正确；若x∈，则2x－∈⊆[－π，0]，所以f(x)在区间上单调递增，故D正确． 答案　CD 11．设函数f(x)＝cos (ω＞0).若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________. 解析　∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f(x)取得最大值，即f ＝cos ＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值. 答案　 12．已知α，β为锐角三角形的两个内角，则cos α与sin β的大小关系是________． 解析　因为α，β是锐角三角形的两个内角， 故α＋β>，∴α>－β，α∈(0，)，－β∈(0，)， 所以cos α<cos (－β)＝sin β. 答案　cos α<sin β 13．已知函数f(x)＝sin 2x. (1)若g(x)＝f ，求函数g(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，函数y＝2af(x)＋b(a＞0)的最大值为1，最小值为－5，求实数a，b的值． 解　(1)g(x)＝f ＝sin ＝－sin .令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)∵－≤x≤，∴－≤2x≤，∴－1≤sin 2x≤1. 又∵y＝2a sin 2x＋b(a＞0)，∴ymax＝2a＋b＝1，ymin＝－2a＋b＝－5， ∴a＝，b＝－2. 14．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f(x)≤对x∈R恒成立，且f()>f(π)，求f(x)的单调递增区间． 解　由f(x)≤对x∈R恒成立知， 2·＋φ＝2kπ±(k∈Z). ∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z). 由|φ|<π，得φ＝或φ＝－. 又∵f()>f(π)， ∴φ＝－，故f(x)＝2sin (2x－). 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z). 得f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $$