(课时作业) 5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第93页] 1．(陕西西安铁一中高一期末)函数f(x)＝cos的最小正周期是(　　) A．2π B．π C． D． 解析　函数f(x)＝cos 的最小正周期T＝＝π，故选B. 答案　B 2．(多选)(山西太原进山中学高一期末)函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的最小正周期为，则ω的值不可能为(　　) A．4 B．2 C．1 D． 解析　因为函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的最小正周期为，又因为T＝，所以ω＝＝＝4.故选BCD. 答案　BCD 3．(多选)(济南高一检测)关于函数f(x)＝4sin (2x＋)(x∈R)，下列命题正确的是(　　) A．y＝f(x)的解析式可改写为y＝4cos (2x－) B．y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数 C．函数y＝f(x－)是奇函数 D．y＝f(x＋)的图象关于y轴对称 解析　A正确，f(x)＝4sin (2x＋)＝4cos ＝4cos (2x－)；B错误，由题意知T＝＝π；C正确，f(x－)＝4sin ＝4sin 2x，是奇函数；D正确，f(x＋)＝4sin ＝4cos 2x，是偶函数，其图象关于y轴对称．故选ACD. 答案　ACD 4．下列函数中是奇函数且最小正周期是π的是(　　) A．y＝cos |2x| B．y＝|sin x| C．y＝sin (＋2x) D．y＝cos (－2x) 解析　y＝cos |2x|是偶函数；y＝|sin x|是偶函数； y＝sin (＋2x)＝cos 2x是偶函数；y＝cos (－2x)＝－sin 2x是奇函数，且其最小正周期T＝π. 答案　D 5．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式为________________． 解析　当x<0时，－x>0， 所以f(－x)＝sin (－x)＝－sin x. 又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－sin x， 即f(x)＝ 答案　f(x)＝ 6．(北京高一月考)设函数f(x)＝sin (ωx＋).若f(x)的图象关于直线x＝对称，则ω的取值集合是________________． 解析　由题意可知，函数f(x)＝sin (ωx＋)的图象的对称轴方程为ωx＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝(k∈Z).结合题意有＝(k∈Z)，整理可得ω的取值集合是{ω|ω＝6k＋1，k∈Z}． 答案　{ω|ω＝6k＋1，k∈Z} 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos (＋2x)cos (π＋x)； (2)f(x)＝＋； (3)f(x)＝. 解　(1)x∈R，f(x)＝cos (＋2x)cos (π＋x) ＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2x cos x. ∴f(－x)＝sin (－2x)cos (－x)＝－sin 2x cos x ＝－f(x). ∴y＝f(x)是奇函数． (2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1， ∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0. ∴f(x)＝＋的定义域是R. ∵f(－x)＝＋ ＝＋＝f(x)， ∴y＝f(x)是偶函数． (3)∵esin x－e－sin x≠0，∴sin x≠0， ∴x∈R且x≠kπ，k∈Z. ∴定义域关于原点对称． 又∵f(－x)＝＝＝－f(x). ∴该函数是奇函数． 8．函数f(x)＝sin 图象为R上的奇函数，则φ的值可以是(　　) A．0 B．－ C． D．π 解析　要使函数f(x)＝sin 为R上的奇函数，需＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝－＋kπ，k∈Z.故选B. 答案　B 9．(吉林延边高一期末)下列关于函数f(x)＝2sin 的图象，说法正确的是(　　) A．关于点对称 B．关于直线x＝－对称 C．关于直线x＝对称 D．关于点对称 解析　f ＝2sin ＝－2，即f(x)的图象关于直线x＝对称，故A错误；f ＝2sin ＝0，即f(x)的图象关于点对称，故B错误；f ＝2sin ＝2，即f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；f ＝ 2sin ≠0，故D错误．故选C. 答案　C 10．已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)＋f(x)＝0，且y＝f(x－1)的图象关于(1，0)对称，f(3)＝4，则f(2 021)等于(　　) A．0 B．－4 C．－8 D．－16 解析　函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，因此函数f(x)的周期T＝8. ∵y＝f(x－1)的图象关于(1，0)对称， ∴把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得到的y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象关于(0，0)对称， 因此函数f(x)为奇函数． ∴f(2 021)＝f(252×8＋5)＝f(5)＝f(5－8)＝f(－3)＝－f(3)＝－4，故选B. 答案　B 11．已知f(x)＝，若f(5)＝－2，则f(－5)＝________． 解析　f(x)＝， 则f(－x)＝ ＝－＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 所以f(－5)＝－f(5)＝2. 答案　2 12．已知函数f(x)＝cos (＋)，则f(x)的最小正周期是________；f(x)的对称中心是________． 解析　由f(x)＝cos (＋)，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f(x)的对称中心是(2kπ＋，0)，k∈Z. 答案　4π　(2kπ＋，0)，k∈Z 13．已知函数y＝5cos (πx－)(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值． 解　由5cos (πx－)＝， 得cos (πx－)＝. ∵函数y＝cos x在每个周期内出现函数值有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，为了使长度为3的区间内出现函数值不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度． 即2×≤3，且4×≥3. ∴≤k≤.又k∈N，故k＝2，3. 14．已知函数f(x)＝cos (2x＋)，若函数g(x)在最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f()，求关于x的方程g(x)＝的解集． 解　当x∈时，g(x)＝f()＝cos (x＋).因为x＋∈， 所以由g(x)＝得x＋＝－或，即x＝－或－. 又因为g(x)的最小正周期为π， 所以g(x)＝的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$