(课时作业) 5.2.2 同角三角函数的基本关系-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第85页] 1．已知sin α＝，α∈，则tan α的值为(　　) A．－ B． C．－2 D．2 解析　因为sin α＝，sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝±，因为α∈，所以cos α＝－，所以tan α＝＝＝－. 答案　A 2．(山东青岛高一月考)化简的结果为(　　) A．tan B．－ C．1 D．－1 解析　原式＝＝＝－1. 答案　D 3．已知sin αcos α＝－，且＜α＜，则cos α＋sin α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　∵＜α＜，∴cos α∈，sin α∈，可得cos α＋sin α＞0，∴cos α＋sin α＝＝＝＝.故选A. 答案　A 4．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ等于(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ ＝ ＝， 又tanθ＝2，故原式＝＝. 答案　D 5．(湖北武汉高一期末)已知＝，则tan α＝________. 解析　分子、分母同除以cos α，得＝，解得tan α＝－. 答案　－ 6．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan θ＝________． 解析　由sin2θ＋cos2θ＝()2＋()2＝1， 解得m＝0或m＝8. 当m＝0时，sinθ＝－，cos θ＝， 故tan θ＝－； 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－， 故tan θ＝－. 答案　－或－ 7．(1)化简：tan α，其中α是第二象限角； (2)化简：·. 解　(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.故tan α＝ tanα＝tanα＝·＝·＝－1. (2)原式＝·＝·＝·＝·＝±1. 8．化简－的结果是(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　原式＝＝＝－. 答案　A 9．已知α∈R，sinα＋3cos α＝，则tan α＝(　　) A．2 B．－ C．－2 D．2或－ 解析　∵sin α＋3cos α＝， ∴两边平方，可得sin2α＋9cos2α＋6sinαcos α＝5， ∴＝5， ∴＝5， 则2tan2α－3tanα－2＝0，解得tan α＝2或tan α＝－.故选D. 答案　D 10．若△ABC的内角A满足sin A cos A＝，则sin A＋cos A的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为∠A为△ABC的内角，且sin A cos A＝>0，所以∠A为锐角．所以sin A＋cos A>0.又1＋2sin A cos A＝1＋，即(sin A＋cos A)2＝，所以sin A＋cos A＝. 答案　A 11．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析　由sinα＋2cos α＝0，得＝tan α＝－2， 故2sin αcos α－cos2α＝＝ ＝＝－1. 答案　－1 12．已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m的值为________． 解析　由题意知Δ＝4(m＋1)2－16m≥0，解得m∈R. 不妨设sinA＝x1，cos A＝x2， 则x1＋x2＝(m＋1)，x1·x2＝m， 即sin A＋cos A＝(m＋1)，sin A cos A＝m， 所以1＋2×m＝(m＋1)2，解得m＝或m＝－.当m＝－时，sin A cos A＝－<0，不合题意，舍去，故m＝. 答案　 13．化简下列各式： (1)； (2). 解　(1)原式＝ ＝＝＝－1. (2)法一　原式＝ ＝＝. 法二　原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 法三　原式＝ ＝ ＝＝＝. 14．(1)分别计算cos4－sin4和cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？ (2)计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现？ (3)证明：x∈R，cos2x－sin2x＝cos4x－sin4x. 解　(1)cos4－sin4 ＝(cos2＋sin2)(cos2－sin2) ＝cos2－sin2＝－＝＝cos. (2)cos4－sin4 ＝(cos2＋sin2)(cos2－sin2) ＝cos2－sin2＝－＝0＝cos. (3)证明　cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x. 学科网（北京）股份有限公司 $$