(课时作业) 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第29页] 1．与不等式≥0同解的不等式是(　　) A．(x－3)(2－x)≥0 B．0<x－2≤1 C．≥0 D．(x－3)(2－x)>0 解析　解不等式≥0，得2<x≤3. 解不等式(x－3)(2－x)≥0，得2≤x≤3，故A不正确； 解不等式0<x－2≤1，得2<x≤3，故B正确； 解不等式≥0，得2≤x<3，故C不正确； 解不等式(x－3)(2－x)>0，得2<x<3，故D不正确．故选B. 答案　B 2．不等式＜的解集是(　　) A．{x|x＜2} B．{x|x＞2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|x＜0，或x＞2} 解析　原不等式可化为＞0，即2x(x－2)＞0， ∴x＜0或x＞2. 答案　D 3．若不等式x2＋mx＋＞0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m＞2} B．{m|m＜2} C．{m|m＜0，或m＞2} D．{m|0＜m＜2} 解析　因为不等式x2＋mx＋＞0，对x∈R恒成立，所以Δ＜0，即m2－2m＜0，所以0＜m＜2. 答案　D 4．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一条限速为30 km/h的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m，已知该种车型的刹车距离s(单位：m)与刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下函数关系：s＝v2＋v，要判断该汽车是否超速，需要求解的不等式是(　　) A．v2＋v－10＜0 B．v2＋v－10＞0 C．v2＋v＋10＜0 D．v2＋v＋10＞0 解析　∵测得汽车的刹车距离大于10 m， ∴s＝v2＋v＞10， 即v2＋v－10＞0.故选B. 答案　B 5．不等式≥1的解集为________． 解析　因为≥1等价于≥0， 所以≤0，等价于 解得－4＜x≤. 答案　 6．已知不等式 (m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3＞0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是____________． 解析　若m2＋4m－5＝0，则m＝－5或m＝1. 经检验m＝1符合题意； 若m2＋4m－5≠0，由题意可得 即解得1＜m＜19. 答案　{m|1≤m＜19} 7．某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝ 3 m，AD＝2 m．要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内？ 解　设DN的长为x(x>0)m，则AN的长为(x＋2)m.易知＝，所以AM＝，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝. 由S矩形AMPN＞32，得＞32. 又x＞0，所以3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜或x＞6， 即DN的长的取值范围是. 8．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x}，则关于x的不等式＞0的解集为(　　) A．{x} B．{x} C．{x} D．{x} 解析　由题意得x＝1为方程ax－b＝0的根， ∴a－b＝0，即a＝b. ∵ax－b>0的解集为{x}，∴a>0， ∴＝＞0等价于(x＋1)(x－2)＞0， 解得x＞2或x＜－1， ∴不等式的解集为{x}． 答案　C 9．(多选)若命题“存在实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)－4≥0成立”是假命题，则实数a可以是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　命题“存在实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0成立”是假命题，则其否定为“任意实数x，使得(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0成立”是真命题，当a＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a≠2时，则解得－2＜a＜2.综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.故选BCD. 答案　BCD 10．若产品的总成本y(万元)与销量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25 万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　) A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 解析　由题意知25x－y＝0.1x2＋5x－3 000≥0， 即x2＋50x－30 000≥0， 解得x≥150或x≤－200(舍去). 所以生产者不亏本时的最低产量是150 台． 答案　C 11．已知集合A＝，B＝{x|x＜a}，若A是B的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析　A＝＝{x|－1＜x＜1}，若A是B的充分不必要条件，则AB，则a≥1. 答案　{a|a≥1} 12．(扬州高一期中)已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝________，b＋c＋的最小值为________． 解析　由题知a＞0，－＝2＋3＝5，＝2×3＝6， 则b＝－5a，c＝6a，所以＝－. b＋c＋＝a＋＝(a＋2)＋－2≥2 －2＝8， 当且仅当a＋2＝，即a＝3时取等号， 故b＋c＋的最小值为8. 答案　－　8 13．(湖北仙桃中学高一月考)为了加强自主独立性，全国半导体领域各个企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入．据了解，某企业研发部原有200 名技术人员，年人均投入a万元(a>0)，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(x∈N且90≤x≤150)，调整后研发人员的年人均投入增加(2x)%，技术人员的年人均投入调整为a 万元． (1)要使这(200－x) 名研发人员的年总投入不低于调整前200 名技术人员的年总投入，求调整后技术人员的人数最多为多少？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 解　(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为[1＋(2x)%]a万元， 则(200－x)[1＋(2x)%]a≥200a， 即(200－x)≥200， 所以(200－x)(x＋50)≥10 000， 整理得x2－150x＝x(x－150)≤0，解得0≤x≤150. 因为x∈N且90≤x≤150， 所以调整后技术人员的人数最多为150. (2)①由技术人员年人均投入不减少，得a≥a， 解得m≥＋1； ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 得(200－x)[1＋(2x)%]a≥xa， 两边同时除以ax，得≥m－， 整理，得m≤＋＋3. 故有＋1≤m≤＋＋3. 因为＋＋3≥2＋3＝7，当且仅当x＝100时等号成立，所以m≤7. 又因为90≤x≤150，x∈N，所以当x＝150时，＋1取得最大值7， 所以m≥7. 所以7≤m≤7，即存在m＝7满足条件． 14．已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在{x|－1＜x＜0}内，另一根在{x|1＜x＜2}内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两根均在{x|0＜x＜1}内，求实数m的取值范围． 解　(1)由题意可知抛物线y＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点横坐标分别在{x|－1＜x＜0}和{x|1＜x＜2}内，画出示意图，如图所示， 则∴ ∴实数m的取值范围是. (2)根据抛物线与x轴的交点落在{x|0＜x＜1}内，列不等式组 ∴ ∴实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$