(课时作业) 2.1 第2课时 等式性质与不等式性质-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第21页] 1．已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　) A．ab＞bc B．ac＞bc C．ab＞ac D．a|b|＞|b|c 解析　因为a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，所以ab＞ac. 答案　C 2．(重庆巴蜀中学高一期末)若a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．＞ B．＞ C．a－＞b－ D．＞ 解析　因为a>b>0，所以＞0，a2＞b2＞0，所以＞，故 A错误； 因为a>b>0，则ab>0，所以a＋ab>b＋ab，即a(1＋b)＞b(1＋a).又＞0，所以＞，故B错误； 当a＝，b＝时，a>b>0，a－＝－3＝－，b－＝－2＝－，所以a－＜b－，故C错误； 因为a>b>0，所以＞＞0，则＞.故D正确，故选D. 答案　D 3．若a＜b＜c，则＋的值为(　　) A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 解析　＋＝＝. ∵a＜b＜c，∴c－b＞0，a－c＜0，a－b＜0， ∴＞0，即＋＞0.故选A. 答案　A 4．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a＋＞b＋ B．a＋≥b＋ C．＞ D．b－＞a－ 解析　因为a＞b＞0，所以＞＞0，所以a＋＞b＋.故选A. 答案　A 5．(山东淄博桓台第二中学高一期中)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，则z＝9x－y的取值范围是________. 解析　令m＝x－y，n＝4x－y，则 ∴9x－y＝n－m. ∵－4≤m≤－1，∴≤－m≤. ∵－1≤n≤5，∴－≤n≤， ∴－1≤9x－y＝n－m≤20. 答案　{z} 6．已知三个不等式①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题． 解析　①②⇒③，③①⇒②.(证明略) 由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0.即②③⇒①.所以可以组成3个正确命题． 答案　3 7．如果30＜x＜42，16＜y＜24.分别求x＋y，x－2y及的取值范围． 解　因为30＜x＜42，16＜y＜24，所以46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32，＜＜，所以－18＜x－2y＜10；＜＜，即＜＜. 8．(多选)若＜＜0，则下列结论中正确的是(　　) A．a2＜b2 B．ab＜b2 C．a＋b＜0 D．|a|＋|b|＞|a＋b| 解析　因为＜＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以ABC均正确．因为b＜a＜0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 9．(多选)设a＞b＞1，c＜0，则下列结论中正确的是(　　) A．＞ B．ac＜bc C．a(b－c)＞b(a－c) D．＞ 解析　因为a＞b＞1，c＜0，所以－＝＞0，所以＞，故A正确；因为－c＞0，所以a(－c)＞b(－c)，所以－ac＞－bc，所以ac＜bc，故B正确；因为a＞b＞1，所以a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)＞0，所以a(b－c)＞b(a－c)，故C正确；因为＜0，a＞b＞0，所以＜，故D错误． 答案　ABC 10．(多选)若1<a<2，3<b<5，则下列不等式正确的是(　　) A．4＜a＋b＜7 B．2＜b－a＜3 C．3＜ab＜10 D．＜＜5 解析　由1＜a<2，3＜b＜5，可得4＜a＋b<7，故A正确；由1＜a<2，可得－2＜－a＜－1，而3<b＜5，所以1<b－a<4，故B错误；由1＜a<2，3＜b＜5，可得3＜ab<10，故C正确；由1<a<2，可得＜＜1，而3<b<5，所以＜＜5，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 11．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________． 解析　设z＝2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y， 则解得 ∴z＝－(x＋y)＋(x－y). 又－1≤x＋y≤4，2≤x－y≤3， ∴－2≤－(x＋y)≤，5≤(x－y)≤， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴z的取值范围是{z|3≤z≤8}． 答案　{z|3≤z≤8} 12．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________________． 解析　＋－＝＋＝(a－b)·＝. ∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，a2b2＞0， ∴≥0，∴＋≥＋. 答案　＋≥＋ 13．(上海高一期中)现有A，B，C，D四个长方形容器，A，B的底面积都是a2，高分别是a，b；C，D的底面积都是b2，高分别是a，b(a≠b)，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问：先取者有没有必胜的方案？若有，有哪几种？并证明你的结论；若没有，请说明理由． 解　先取A，D容器必胜．理由如下： 依次记容器A，B，C，D的容积为VA，VB，VC，VD， 则VA＝a3，VB＝a2b，VC＝ab2，VD＝b3. 所以(VA＋VB)－(VC＋VD)＝(a－b)(a＋b)2， (VA＋VC)－(VB＋VD)＝(a－b)(a2＋b2)， (VA＋VD)－(VB＋VC)＝(a＋b)(a－b)2， 只有(VA＋VD)－(VB＋VC)＝(a＋b)(a－b)2必大于0，即VA＋VD＞VB＋VC. 所以，先取A，D容器必胜． 14．洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事．对于一件已经用洗衣粉搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服，如果用定量的清水来漂洗它，问：对清水分配使用的不同，对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗？为此，我们研究漂洗一块毛巾的情形，提出以下假设： ①漂洗前和每一次漂洗拧干后，毛巾上总残留清水b克； ②每一次漂洗时，毛巾上残留的污物会均匀地溶解在漂洗和残留的清水里，污物则按浓度比例注：浓度比例＝×100%随着拧走的水而去除，剩余污物留在残留的清水中； ③符号假设：用来漂洗的清水总质量为M克，漂洗之前毛巾上的初始污物质量为w0克．现在有以下两种方案： 方案一：一次性用完全部的清水去漂洗毛巾； 方案二：把清水均匀地分成两份，对毛巾进行漂洗． (1)如果采用方案一，求漂洗拧干后的毛巾中污物剩余质量m1； (2)如果采用方案二，设第一次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为w1克，第二次漂洗之后毛巾上残留的污物质量为w2克，求两次漂洗后的毛巾中污物剩余质量，并对比哪种方案的效果好． 解　(1)由假设知，第一次漂洗前，毛巾上有污物w0克，残留的清水b克．依照方案一漂洗时加入清水M克，此时w0克污物均匀地溶解在(M＋b)克清水里，取出毛巾拧干后，毛巾上残留的污物量m1均匀地溶解在毛巾上残留的b克清水里． 由于毛巾拧干前后污物的浓度相等，故拧干后毛巾上残留的污物量m1与毛巾上残留的清水量b之比，等于拧干前毛巾上残留的污物量w0与清水量(M＋b)之比， 即＝，从而m1＝. (2)若采用方案二，第一次漂洗与(1)相同，有＝， 即第一次漂洗之后剩余污物量w1＝. 同理可得，在第二次漂洗拧干前，毛巾上残留的污物量w1与清水量＋b之比，等于在拧干之后毛巾上残留的污物量w2与毛巾上残留的清水量b之比，即＝， 从而w2＝＝，易知＝1＋＋＞1＋. 因此w2<m1，则说明方案二的效果更好． 学科网（北京）股份有限公司 $$