(课时作业) 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第17页] 1．(北京第十二中高一期中)命题“∃x∈R，使x2＋3x＋2<0”的否定是(　　) A．∀x∈R，均有x2＋3x＋2≥0 B．∀x∈R，均有x2＋3x＋2<0 C．∃x∈R，使得x2＋3x＋2≥0 D．∃x∈R，使得x2＋3x＋2≤0 解析　命题“∃x∈R，使x2＋3x＋2<0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋3x＋2≥0”．故选A. 答案　A 2．命题“正方形都是菱形”的否定是(　　) A．任意一个正方形，它是菱形 B．任意一个正方形，它不是菱形 C．存在一个正方形，它不是菱形 D．存在一个正方形，它是菱形 解析　全称命题的否定为存在量词命题．故选C. 答案　C 3．若p：∀x∈R，sin x≤1，则(　　) A．¬p：∃x∈R，sin x＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1 C．¬p：∃x∈R，sin x≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥1 解析　根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，sin x≤1的否定为：∃x∈R，sin x＞1，故选A. 答案　A 4．命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是(　　) A．∀a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 B．∃a∉R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根 D．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1≠0没有实根 解析　根据全称量词命题的否定形式可知，命题“∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根”的否定是“∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实根”．故选C. 答案　C 5．命题“任意两个等边三角形都相似”的否定是________，其为________命题(填“真”或“假”). 解析　该命题的否定为存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意的两个等边三角形均相似，所以该命题的否定为假命题． 答案　存在两个等边三角形，它们不相似　假 6．若命题“存在x＜2 022，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　由于命题“存在x＜2 022，x＞a”是假命题，因此其命题的否定“对任意x＜2 022，x≤a”是真命题．所以a≥2 022. 答案　a≥2 022 7．(安徽六安高一月考)对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假． (1)存在某个整数a，使a2＝a； (2)任意实数都可以写成平方和的形式； (3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数； (4)∀m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根． 解　(1)该命题的否定：对于任意的整数a，都有a2≠a.为假命题． (2)该命题的否定：存在实数不可以写成平方和的形式．为真命题． (3)该命题的否定：存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数．为假命题． (4)该命题的否定：∃m>0，方程x2＋x－m＝0没有实数根．为假命题． 8．(广西桂林期中)已知a，b，c∈R，则下列语句能成为“a，b，c都不小于1”的否定形式的是(　　) A．a，b，c中至少有1个大于1　　B．a，b，c都小于1 C．a，b，c 都不大于1 D．a<1或b<1或c<1 解析　a，b，c都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1，即a，b，c都大于或等于1，所以其否定是a，b，c不都大于或等于1，即a，b，c中至少有一个小于1，即a<1或b<1或c<1.故选D. 答案　D 9．(多选)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2＜－1” B．命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9” C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要不充分条件 D．“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 解析　命题“∀x∈R，x2＞－1”的否定是“∃x∈R，x2≤－1”，故A错误；命题“∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9”的否定是“∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9”，B正确；x2＞y2⇔|x|＞|y|，|x|＞|y|不能推出x＞y，x＞y也不能推出|x|＞|y|，所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，C错误；关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根⇔⇔m＜0，所以“m＜0”是“关于x的方程x2－2x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，D正确．故选BD. 答案　BD 10．命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是____________________． 解析　写全称量词命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”． 答案　∃n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n 11．(四川泸州高一月考)已知命题p：“对任意2≤x1≤5，存在＋m≤x2≤3, 使x1≥x2”为假，则实数m的取值范围是________. 解析　“对任意2≤x1≤5，存在＋m≤x2≤3，使x1≥x2”为假，则“存在2≤x1≤5，对任意的＋m≤x2≤3，使x1<x2”为真，即(x1)min<(x2)min，故解得＜m≤. 答案　 12．设A，B为两个非空数集，且A与B之间不存在包含关系，给出下列三个命题： ①对任意的x∈A，有x∉B；②对任意的x∈B，有x∉A；③存在x∈A，使得x∉B. 上述三个命题的否定是真命题的序号是________． 解析　根据题意可设A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A与B之间不存在包含关系．因为3∈A且3∈B，所以①②是假命题；因为1∈A且1∉B，所以③是真命题．综上可知，①②中的命题的否定是真命题，③中的命题的否定是假命题． 答案　①② 13．一学校开展小组合作学习模式，高二某班某组王小强同学给组内王小刚同学出题如下：若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．王小刚略加思索，反手给了王小强一道题：若“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？并说明理由． 解　两位同学题中实数m的取值范围是一致的． ∵“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”， 而“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题， 则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题． ∴两位同学题中实数m的取值范围是一致的． 14．已知命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0，命题q：∃x∈，x2－a≤0.若命题p和命题q至多有一个为真命题，求实数a的取值范围． 解　若命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0为真命题， 则Δ＝22－4a≤0， ∴a≥1. 若命题q：∃x∈，x2－a≤0为真命题， 则a≥(x2)min， ∴a≥0. ∴p，q均为真命题时，满足 即{a|a≥1}， 其补集为{a|a＜1}， ∴p，q至多有一个为真命题时，实数a的取值范围为{a|a＜1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$