(课时作业) 1.5.1 全称量词与存在量词-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

[对应素能提升训练第15页] 1．(四川峨眉第二中学高一月考)下列命题是全称量词命题的是(　　) A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是360° C．至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数 D．存在一个实数x，使得x2＝x 解析　选项A，C，D中的命题均为存在量词命题；选项B中的命题是全称量词命题．故选B. 答案　B 2．(北京首都师范大学附属密云中学高一月考)给出以下命题： ①∃x∈Z，x2－2x－3＝0；②∀x∈R，x2>0；③有些自然数是偶数；④∃x∈R，x2＋x＋1≤0. 其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　当x＝－1∈Z时，(－1)2－2×(－1)－3＝0，故∃x∈Z，x2－2x－3＝0.故①是真命题；当x＝0时，x2＝0，故②不是真命题；2，4是偶数，所以有些自然数是偶数是真命题，故③是真命题；因为x2＋x＋1＝＋≥＞0，故④不是真命题. 所以真命题的个数为2.故选B. 答案　B 3．已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．0＜a＜4 B．a＞4 C．a＜0 D．a≥4 解析　因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a＜0，即a＞4. 答案　B 4．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 解析　当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}.又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C. 答案　C 5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“∃”写成存在量词命题为________________． 解析　存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 答案　∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0 6．对任意x＞3，x＞a恒成立，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意{x|x＞3}⊆{x|x＞a}，用数轴表示两集合关系如图，所以a≤3. 答案　{a|a≤3} 7．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)若x∈{1，3，5}，则3x＋1是偶数； (2)在平面直角坐标系中，任一有序实数对(x，y)都对应一点； (3)存在一个实数x，使得x2－x＋1＝0； (4)至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除． 解　(1)全称量词命题． ∵3×1＋1＝4，3×3＋1＝10，5×3＋1＝16均为偶数， ∴其为真命题． (2)全称量词命题． 任一有序实数对(x，y)都与平面直角坐标系中的点(x，y)唯一对应，其为真命题． (3)存在量词命题． ∵方程x2－x＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3<0， ∴x2－x＋1＝0无实数根， ∴其为假命题． (4)存在量词命题． ∵6能同时被2和3整除，∴其为真命题． 8．(多选)下列全称量词命题中真命题有(　　) A．负数不能开根号 B．对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab C．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 D．∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|＞0. 答案　ABC 9．(多选)下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 解析　当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以AB错误，CD正确．故选CD. 答案　CD 10．(辽宁名校联盟高一月考)若“∀x∈{xa－2x≥－1”为假命题，则实数a的取值范围为(　　) A．{a} B．{a} C．{a} D．{a} 解析　因为∀x∈{x}，a－2x≥－1为假命题，即a<2x－1在x∈{x}上有解，所以a＜(2x－1)max.因为(2x－1)max＝2×1－1＝1，所以实数a的取值范围为{a}．故选A. 答案　A 11．若“∃x∈{x}，m≥x2＋2x－3”是真命题，则实数m的取值范围是________. 解析　因为“∃x∈{x}，m≥x2＋2x－3”是真命题，则∃x∈{x}，x2＋2x－3－m≤0. 令y＝x2＋2x－3－m，则该二次函数图象的对称轴为直线x＝－1，－1∈{x}，所以对于方程x2＋2x－3－m＝0，Δ＝4－4(－3－m)≥0，即m≥－4时，一定存在x∈{x}，满足y≤0.故实数m的取值范围是m≥－4. 答案　{m} 12．已知p：x2＋2x－m＞0，如果x＝1时，p是假命题，x＝2时，p是真命题，则实数m的取值范围是____________． 解析　由x＝1时，p是假命题，x＝2时，p是真命题， 得解得3≤m＜8. 答案　3≤m＜8 13．已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋3≥0；命题q：∃x∈{x}，使得x2＋2x＋a≥0. (1)若命题p是假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p是假命题，命题q是真命题，求实数a的取值范围． 解　(1)若命题p是真命题，则ax2＋2x＋3≥0在R上恒成立．当a＝0时，2x＋3≥0，不能恒成立；当a≠0时，只需满足即所以a≥. 若命题p是假命题，则a＜.故a的取值范围是. (2)若命题q为真命题，则∃x∈{x}，使得x2＋2x＋a≥0，即当1≤x≤2时，y＝x2＋2x＋a的最大值大于或等于0. 因为二次函数y＝x2＋2x＋a的图象开口向上，对称轴为直线x＝－1，所以当x＝2时，y取得最大值，即22＋2×2＋a≥0，所以a≥－8， 所以当p假q真时，a＜且a≥－8，即a的取值范围为. 14．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：∀x∈B，x∈A是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：∃x∈A，x∈B是真命题，求m的取值范围． 解　(1)由于命题p：∀x∈B，x∈A是真命题， 所以B⊆A，B≠∅，所以 解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2. 所以 解得2≤m≤4. 学科网（北京）股份有限公司 $$