5.7 三角函数的应用（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　三角函数 5．7　三角函数的应用 第五章　三角函数 第五章　三角函数 A 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 [学习任务] 1．了解y＝A sin (ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 2．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．(重点) 3．会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点、难点) 知识点　函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义 eq \f(ω,2π) 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中对于参数的物理意义的理解 (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)T：T＝ eq \f(2π,ω) ，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期； (3)f：f＝ eq \f(1,T) ＝ eq \f(ω,2π) ，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率； (4)ωx＋φ：称为相位；φ：当x＝0时的相位，称为初相． 探究一　三角函数在物理中的应用 [例1]　已知电流I(单位：A)与时间t(单位：s)的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))＜\f(π,2))) 在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段 eq \f(1,150) s的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ [解]　(1)由题图可知A＝300，设t1＝－ eq \f(1,900) ，t2＝ eq \f(1,180) ，则周期T＝2(t2－t1)＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,180)＋\f(1,900))) ＝ eq \f(1,75) ，∴ω＝ eq \f(2π,T) ＝150π. 又当t＝ eq \f(1,180) 时，I＝0，即sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150π×\f(1,180)＋φ)) ＝0，又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ)) ＜ eq \f(π,2) ，∴φ＝ eq \f(π,6) ，故所求的解析式I＝300sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(150πt＋\f(π,6))) . (2)依题意知，周期T≤ eq \f(1,150) ，即 eq \f(2π,ω) ≤ eq \f(1,150) (ω＞0)， ∴ω≥300π＞942，∴ω的最小正整数值是943. 1．已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,4))) . (1)求小球开始振动的位置； (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标． 解　(1)令t＝0，得h＝3sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(3\r(2),2) ，所以开始振动的位置为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3\r(2),2))) . (2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为 eq \f(π,8) ，即所求最高点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，3)) ；当h＝－3时，t的最小值为 eq \f(5π,8) ，即所求最低点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)，－3)) . 探究二　三角函数在实际生活中的应用 [例2]　心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p(t)的简图； (4)求出此人的血压在血压计上的读数． [解]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝ eq \f(2π,|ω|) ，可得T＝ eq \f(2π,160π) ＝ eq \f(1,80) (min)，所以函数p(t)的周期为 eq \f(1,80) min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f＝ eq \f(1,T) ＝80(次). (3)列表： t 0 eq \f(1,320) eq \f(1,160) eq \f(3,320) eq \f(1,80) p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示： (4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg. 2．(1)(广东广州高一期末)如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3 s转一圈，则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是(　　) A.y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,4))))) B．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,4))))) C．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t＋\f(π,4))))) D．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)t＋\f(π,4))))) (2)某商品一年内每件出厂价在5 千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(φ))<\f(π,2))) 的模型波动(x为月份)，已知3 月份达到最高价7 千元，7 月份达到最低价3 千元，根据以上条件可以确定f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))) ＋5(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝7sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4))) ＋5(1≤x≤12，x∈N*) C．f(x)＝7sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))) ＋5(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4))) ＋5(1≤x≤12，x∈N*) 解析　(1)设点P的纵坐标为f(t)＝A sin (ωt＋φ).由题意得T＝ eq \f(2π,ω) ＝3，解得ω＝ eq \f(2π,3) . 因为起始点P在第四象限，所以初相φ＝－ eq \f(π,4) . 由题图知A＝2，所以f(t)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,4))) . 所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是 y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)t－\f(π,4))))) .故选A. (2)根据题意可得函数的周期T＝2×(7－3)＝8， 则ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(π,4) . 因为3 月份达到最高价7 千元，7 月份达到最低价3 千元，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＋B＝7，,－A＋B＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝2，,B＝5.)) 当x＝3时，由2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)×3＋φ)) ＋5＝7，解得φ＝－ eq \f(π,4) .故f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x－\f(π,4))) ＋5(1≤x≤12，x∈N*).故选D. 答案　(1)A　(2)D 探究三　三角函数模型的拟合问题 [例3]　当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表． x(月份) 1 2 3 4 5 6 t(℃) 17.3 17.9 17.3 15.8 13.7 11.6 x(月份) 7 8 9 10 11 12 t(℃) 10.06 9.5 10.06 11.6 13.7 15.8 (1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿市的月平均气温做一个函数模型； (2)当月平均气温不低于13.7 ℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间． [解]　(1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线． 由于月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，依散点图所绘制的图象，可以考虑用t＝A cos (ωx＋φ)＋k来模拟． 由最高气温为17.9 ℃，最低气温为9.5 ℃，得A＝ eq \f(17.9－9.5,2) ＝4.2，k＝ eq \f(17.9＋9.5,2) ＝13.7. 显然 eq \f(2π,ω) ＝12，故ω＝ eq \f(π,6) . 又当x＝2时，t取最大值，∴ eq \f(π,6) ×2＋φ＝0，∴φ＝－ eq \f(π,3) . ∴t＝4.2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3))) ＋13.7为惠灵顿市的月平均气温函数模型． (2)作直线t＝13.7与函数图象交于两点(5，13.7)，(11，13.7).这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7 ℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间． 3．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据． t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动． 解　(1)由表中数据可知，最小正周期T＝12，所以ω＝ eq \f(π,6) . 又当t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；当t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以A＝ eq \f(1,2) . 所以函数解析式为y＝ eq \f(1,2) cos eq \f(π,6) t＋1(0≤t≤24). (2)因为当y＞1时，才对冲浪爱好者开放， 所以y＝ eq \f(1,2) cos eq \f(π,6) t＋1＞1，所以cos eq \f(π,6) t＞0， 所以2kπ－ eq \f(π,2) ＜ eq \f(π,6) t＜2kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)， 即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z). 又0≤t≤24，所以0≤t≤3或9＜t＜15或21＜t≤24， 所以在规定时间内有6小时可供冲浪爱好者进行活动，即9＜t＜15. $$