5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 第五章　三角函数 第五章　三角函数 非零常数T f(x＋T)＝f(x) 正数 正数 最小正周期 第五章　三角函数 第五章　三角函数 奇函数 偶函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 [学习任务] 1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义． 2．会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)的周期． 3．掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性及对称性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点). 知识点一　函数的周期性 1．周期函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的____，那么这个最小____就叫做f(x)的____________． 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 函数 y＝sin x y＝cos x 定义域 R R 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2kπ (k∈Z且k≠0) 最小正周期 ____ ____ 奇偶性 ______ ______ 2π 2π [问题]　判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？ [提示]　若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数． 探究一　正弦函数、余弦函数的周期问题 角度一　求三角函数的最小正周期 [例1]　求下列三角函数的周期： (1)y＝3sin x，x∈R； (2)y＝cos 2x，x∈R； (3)y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4))) ，x∈R； (4)y＝|cos x|，x∈R. [解]　(1)因为3sin (x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2 π. (2)因为cos 2(x＋π)＝cos (2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. (3)因为sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x＋6π）－\f(π,4))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋2π－\f(π,4))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4))) ，由周期函数的定义知，y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－\f(π,4))) 的周期为6π. (4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示， 由图象可知，y＝|cos x|的周期为π. 角度二　三角函数周期性的应用 [例2]　(1)设f(n)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ,2)＋\f(π,4))) ，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)等于(　　) A． eq \r(2) B．－ eq \f(\r(2),2) C．0 D． eq \f(\r(2),2) (2)已知直线y＝b(0<b<1)与函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象在y轴右侧的三个相邻交点的横坐标依次为x1＝ eq \f(π,4) ，x2＝ eq \f(3π,4) ，x3＝ eq \f(9π,4) ，则ω的值为________． [解析]　(1)f(n)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nπ,2)＋\f(π,4))) 的最小正周期T＝4，且f(1)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,4))) ＝cos eq \f(3π,4) ＝－ eq \f(\r(2),2) ，f(2)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,4))) ＝－ eq \f(\r(2),2) ，f(3)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋\f(π,4))) ＝ eq \f(\r(2),2) ，f(4)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,4))) ＝ eq \f(\r(2),2) .所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 021)＝－ eq \f(\r(2),2) .故选B. (2)由题得函数的最小正周期为 eq \f(9,4) π－ eq \f(π,4) ＝2π＝ eq \f(2π,ω) ，所以ω＝1. [答案]　(1)B　(2)1 1．(1)(武汉联考)函数f(x)＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,2)x)) 的最小正周期是(　　) A．4π B．6π C．4 D．6 (2)(甘肃临夏期末)函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))) (ω＞0)的最小正周期为π，则 f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))) ＝(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) (3)函数y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2))) 的最小正周期是________. 解析　(1)因为f(x)＝－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,2)x)) ，所以函数f(x)的最小正周期T＝ eq \f(2π,\f(π,2)) ＝4.故选C. (2)因为函数f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6))) 的最小正周期为π，ω＞0，所以ω＝ eq \f(2π,π) ＝2，所以f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) ，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,2)＋\f(π,6))) ＝－cos eq \f(π,6) ＝－ eq \f(\r(3),2) . (3)易知y＝sin eq \f(x,2) 的最小正周期为 eq \f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))) ＝4π，而y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2))) 的图象是把y＝ sin eq \f(x,2) 的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴及其上方的部分不变，∴y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin \f(x,2))) 的最小正周期为2π. 答案　(1)C　(2)A　(3)2π 探究二　正弦函数、余弦函数的奇偶性问题 [例3]　(链接教科书第203页练习3题)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π＋2x)) ＋x2sin x； (2)f(x)＝cos (2π－x)－x3·sin x； (3)f(x)＝ eq \r(1－2cos x) ＋ eq \r(2cos x－1) . [解]　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，又∵x∈R，f(－x)＝sin (－2x)＋(－x)2sin (－x)＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数． (2)函数的定义域为R，关于原点对称，∵f(x)＝cos x－x3·sin x，∴f(－x)＝cos (－x)－(－x)3·sin (－x)＝cos x－x3·sin x＝f(x)，∴f(x)为偶函数． (3)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2cos x≥0，,2cos x－1≥0)) 得cos x＝ eq \f(1,2) ，此时f(x)＝0，f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ±\f(π,3)))，k∈Z) ) ，∴f(x)既是奇函数又是偶函数． 2．(1)(河南南阳高一期末)函数①y＝x2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)) ；②y＝sin x，x∈[0，2π]；③y＝sin |2x|，x∈[－π，π]中，奇函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(山东青岛高一开学考试)函数f(x)＝x sin x在[－2π，2π]上的图象大致为(　　) 解析　(1)②中x∈[0，2π]，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，排除②；对于①，令f(x)＝y＝x2cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x)) ＝x2sin x，则f(－x)＝(－x)2sin (－x)＝ －x2sin x＝－f(x)，该函数是奇函数；对于③，令f(x)＝y＝sin |2x|，则f(－x)＝sin |－2x|＝sin |2x|＝f(x)，该函数是偶函数．故选B. (2)f(x)＝x sin x，x∈[－2π，2π]，定义域关于原点对称．因为f(－x)＝ －x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以f(x)＝x sin x为偶函数，其图象关于y轴对称，由此排除C，D.又当x＝0.1时，易知sin 0.1>0，所以f(0.1)＝0.1sin 0.1>0，由此排除B.故选A. 答案　(1)B　(2)A 探究三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 [例4]　(1)定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝1，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4))) 的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 (2)已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝1－sin x，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π)) 时，求f(x)的解析式． [解析]　(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝－1. (2)x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π)) 时，3π－x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) ，因为x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，f(x)＝1－sin x， 所以f(3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x．又f(x)是以π为周期的偶函数， 所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π)) . [答案]　(1)B　(2)见解析 3．(1)下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x＝ eq \f(π,3) 对称的是(　　) A．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) B．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))) C．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,3))) D．y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) (2)(湖北咸宁高一联考)若函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)＋sin x是偶函数，函数f(x)＋cos x是奇函数，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝(　　) A．－ eq \f(1＋\r(3),2) B． eq \f(1－\r(3),2) C． eq \f(－1＋\r(3),2) D． eq \f(1＋\r(3),2) 解析　(1)C中，函数的最小正周期T＝ eq \f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))) ＝4π，不满足条件；当x＝ eq \f(π,3) 时，A中，y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋\f(π,3))) ＝2sin π＝0≠±2；B中，y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)－\f(π,6))) ＝ 2sin eq \f(π,2) ＝2；D中，y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)－\f(π,3))) ＝2sin eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) ≠±2.故选B. (2)∵函数f(x)＋sin x为偶函数，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＋sin eq \f(π,3) ，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) － eq \f(\r(3),2) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＋ eq \f(\r(3),2) ①.∵函数f(x)＋cos x为奇函数，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＋cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) －cos eq \f(π,3) ，即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) ＋ eq \f(1,2) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) － eq \f(1,2) ②，由①－②，得－ eq \f(\r(3)＋1,2) ＝2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＋ eq \f(\r(3)＋1,2) ，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))) ＝－ eq \f(\r(3)＋1,2) .故选A. 答案　(1)B　(2)A 1．下列图案中，哪些是轴对称图形？(①②⑤⑥⑦)哪些是中心对称图形？(③④⑥)有没有既是轴对称又是中心对称的图形？(⑥) 2．正弦函数的图象如下图．利用图象探索正弦函数图象的对称性． 1．正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程；如果没有，请说明理由． [提示]　由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝ eq \f(π,2) ＋kπ， k∈Z. 2．正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标；如果没有，请说明理由． [提示]　由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为(kπ，0) ，k∈Z. 3．画出函数y＝sin |x|的图象，并利用图象说明它的对称性． [提示]　由图象可知，函数y＝sin |x|的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形． 1．求函数y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) 的对称轴方程及对称中心坐标． 解　由x－ eq \f(π,3) ＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ eq \f(5,6) π＋kπ，k∈Z.由x－ eq \f(π,3) ＝kπ，k∈Z，得x＝ eq \f(π,3) ＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋kπ，0)) ，k∈Z. 2．如果函数y＝sin 2x＋a cos 2x的图象关于直线x＝－ eq \f(π,8) 对称，那么a的值是多少？ 解　∵函数的图象关于直线x＝－ eq \f(π,8) 对称， ∴f(0)＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4))) ， 即sin 0＋a cos 0＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))) ＋a cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))) ，∴a＝－1. $$