5.3 第1课时 诱导公式二、三、四（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　三角函数 5.3　诱导公式 第1课时　诱导公式二、三、四 第五章　三角函数 第五章　三角函数 原点 第五章　三角函数 第五章　三角函数 x轴 第五章　三角函数 y轴 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 第五章　三角函数 [学习任务] 1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．理解诱导公式的推导过程．(重点) 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．(重点、难点) 知识点　诱导公式二、三、四 1．公式二 终边关系 图示 角π＋α与角α的终边关于____对称 tanα 终边关系 图示 公式 　　sin(π＋α)＝___________， cos (π＋α)＝___________， tan (π＋α)＝_________ －sinα －cosα －tanα 2．公式三 终边关系 图示 角－α与角α的终边关于____对称 公式 　　sin (－α)＝___________， cos (－α)＝_________， tan (－α)＝___________ －sinα cosα －tanα 3．公式四 终边关系 图示 角π－α与角α的终边关于____对称 公式 　　sin (π－α)＝_________， cos (π－α)＝___________， tan (π－α)＝___________ sinα －cosα 探究一　给角求值问题 [例1]　求下列各三角函数式的值； (1)cos 210°； (2)sin eq \f(11π,4) ； (3)sin (－ eq \f(43π,6) )； (4)cos (－1 920°). [解]　(1)cos 210°＝cos (180°＋30°) ＝－cos 30°＝－ eq \f(\r(3),2) . (2)sin eq \f(11π,4) ＝sin(2π＋ eq \f(3π,4) ) ＝sin eq \f(3π,4) ＝sin (π－ eq \f(π,4) ) ＝sin eq \f(π,4) ＝ eq \f(\r(2),2) . (3)sin (－ eq \f(43π,6) )＝－sin(6π＋ eq \f(7π,6) ) ＝－sin eq \f(7π,6) ＝－sin (π＋ eq \f(π,6) )＝sin eq \f(π,6) ＝ eq \f(1,2) . (4)cos (－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos (5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－ eq \f(1,2) . 1．(1)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4))) ＝(　　) A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2) C．－ eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(2),2) (2)(山东莱西一中阶段练习)sin eq \f(16,3) π＝(　　) A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) (3)(山东泰安阶段练习)tan 570°＋sin 300°＝(　　) A． eq \f(5\r(3),6) B． eq \f(\r(3),6) C．－ eq \f(\r(3),6) D．－ eq \f(5\r(3),6) 解析　(1)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4))) ＝cos eq \f(3π,4) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,4))) ＝－cos eq \f(π,4) ＝－ eq \f(\r(2),2) ，故选D. (2)sin eq \f(16,3) π＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(4π,3))) ＝sin eq \f(4π,3) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3))) ＝－sin eq \f(π,3) ＝－ eq \f(\r(3),2) ，故选A. (3)tan 570°＋sin 300°＝tan(360°＋210°)＋sin(360°－60°) ＝tan(180°＋30°)－sin 60°＝tan 30°－sin 60°＝ eq \f(\r(3),3) － eq \f(\r(3),2) ＝－ eq \f(\r(3),6) .故选C. 答案　(1)D　(2)A　(3)C 探究二　给值(式)求值 [例2]　(1)若cos (2π－α)＝ eq \f(\r(5),3) ，且α∈(－ eq \f(π,2) ，0)，则sin (π－α)等于(　　) A．－ eq \f(\r(5),3) B．－ eq \f(2,3) C．－ eq \f(1,3) D．± eq \f(2,3) (2)已知cos ( eq \f(π,6) －α)＝ eq \f(\r(3),3) ，则cos (α＋ eq \f(5π,6) )＝________． [解析]　(1)因为cos (2π－α)＝cos α＝ eq \f(\r(5),3) ，且α∈(－ eq \f(π,2) ，0)，所以sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \f(2,3) ， 所以sin(π－α)＝sin α＝－ eq \f(2,3) . (2)cos (α＋ eq \f(5π,6) )＝cos [π－( eq \f(π,6) －α)]＝－cos ( eq \f(π,6) －α)＝－ eq \f(\r(3),3) . [答案]　(1)B　(2)－ eq \f(\r(3),3) 1．(变问法)若本例(2)中的条件不变，求cos (α－ eq \f(13π,6) )的值． 解　cos (α－ eq \f(13π,6) )＝cos ( eq \f(13,6) π－α) ＝cos [2π＋( eq \f(π,6) －α)]＝cos ( eq \f(π,6) －α)＝ eq \f(\r(3),3) . 2．(变问法)若本例(2)中的条件不变，求cos ( eq \f(5,6) π＋α)－sin2(α－ eq \f(π,6) )的值． 解　因为cos( eq \f(5,6) π＋α)＝cos [π－( eq \f(π,6) －α)]＝－cos ( eq \f(π,6) －α)＝－ eq \f(\r(3),3) ， sin2(α－ eq \f(π,6) )＝sin2[－( eq \f(π,6) －α)] ＝1－cos2( eq \f(π,6) －α)＝1－( eq \f(\r(3),3) )2＝ eq \f(2,3) ， 所以cos( eq \f(5,6) π＋α)－sin2(α－ eq \f(π,6) ) ＝－ eq \f(\r(3),3) － eq \f(2,3) ＝－ eq \f(2＋\r(3),3) . 2．(1)已知sin α＝ eq \f(\r(2),2) ，那么sin (π－α)的值是________. (2)已知cos 170°＝m，则tan 10°的值为(　　) A． eq \f(\r(1－m2),m) B．－ eq \f(\r(1－m2),m) C． eq \f(m,\r(1－m2)) D．－ eq \f(m,\r(1－m2)) 解析　(1)∵sin α＝ eq \f(\r(2),2) ，∴sin (π－α)＝sin α＝ eq \f(\r(2),2) . (2)因为cos 170°＝m，所以－cos 10°＝m，cos 10°＝－m，sin 10°＝ eq \r(1－m2) ，则tan 10°＝－ eq \f(\r(1－m2),m) .故选B. 答案　(1) eq \f(\r(2),2) 　(2)B 探究三　化简求值问题 [例3]　化简下列各式： (1) eq \f(tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）,cos （α－π）sin （5π－α）) ； (2) eq \f(\r(1＋2sin 290°cos 430°),sin 250°＋cos 790°) . [解]　(1)原式＝ eq \f(\f(sin （2π－α）,cos （2π－α）)·sin （－α）cos （－α）,cos （π－α）sin （π－α）) ＝ eq \f(－sin α（－sin α）cos α,cos α（－cos α）sin α) ＝－ eq \f(sin α,cos α) ＝－tan α. (2)原式＝ eq \f(\r(1＋2sin （360°－70°）cos （360°＋70°）),sin （180°＋70°）＋cos （720°＋70°）) ＝ eq \f(\r(1－2sin 70°cos 70°),－sin 70°＋cos 70°) ＝ eq \f(|cos 70°－sin 70°|,cos 70°－sin 70°) ＝ eq \f(sin 70°－cos 70°,cos 70°－sin 70°) ＝－1. 3．化简：(1) eq \f(sin （3π＋α）·cos （α－4π）,cos （－α－5π）·sin （－π－α）) ； (2) eq \f(sin [α＋（2n＋1）π]＋2sin [α－（2n＋1）π],sin （α－2nπ）cos （2nπ－α）) (n∈Z). 解　(1)原式＝ eq \f(sin （π＋α）·cos α,cos （π＋α）·[－sin （π＋α）]) ＝ eq \f(cos α,cos α) ＝1. (2)原式＝ eq \f(sin [（π＋α）＋2nπ]＋2sin [（α－π）－2nπ],sin （α－2nπ）cos （2nπ－α）) ＝ eq \f(sin （π＋α）＋2sin （α－π）,sin αcos α) ＝ eq \f(－sin α－2sin α,sin αcos α) ＝－ eq \f(3,cos α) . [例1]　设θ为钝角，则cos (2π－θ)＝________． [错解]　cos (2π－θ)＝－cos θ. [错因分析]　认为θ为钝角，余弦为负，因而加了“－”号． [正解]　将θ看成锐角，则2π－θ在第四象限，余弦为正，因而cos (2π－θ)＝cos θ. [答案]　cos θ [例2]　已知cos (π＋α)＝m，α∈(π， eq \f(3π,2) )，则sin (5π＋α)＝________. [错解]　∵α∈(π， eq \f(3π,2) )，∴π＋α∈(2π， eq \f(5π,2) )，∴π＋α是第一象限角， ∴cos (π＋α)＝cos α＝m， ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝sin α＝－ eq \r(1－cos2α) ＝－ eq \r(1－m2) . [错因分析]　错在使用诱导公式时，符号错误．不论α为何值，我们用诱导公式时，都将它看作“锐角”． [正解]　∵cos(π＋α)＝－cos α＝m，cos α＝－m. ∴sin (5π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α＝－(－ eq \r(1－cos2α) )＝ eq \r(1－m2) . [答案]　 eq \r(1－m2) $$