4.1.1 第2课时 分数指数幂、无理数指数幂（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版)

单击此处添加文本具体内容 第四章　指数函数与对数函数 4.1　指数 4.1.1　n次方根与分数指数幂 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质 第2课时　分数指数幂、无理数指数幂 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 0 没有意义 第四章　指数函数与对数函数 实数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 第四章　指数函数与对数函数 [学习任务] 1．能够在具体的数学情境中，了解分数指数幂a eq \s\up12(\f(m,n)) (a>0，m，n∈Z，n>1)和实数指数幂ax(a>0，x∈R)的含义．(重点) 2．对给出的具体数学问题，能够运用指数幂的运算性质进行运算．(重点、难点) eq \f(1,a\s\up12(\f(m,n))) 知识点　指数幂及其运算性质 1．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a eq \s\up12(\f(m,n)) ＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a eq \s\up12(－\f(m,n)) ＝_____＝ eq \f(1,\r(n,am)) (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂________ eq \r(n,am) 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝________ (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝________ (a>0，b>0，r∈Q). 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的____．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用． ar＋s arbr 探究一　根式与分数指数幂的互化 [例1]　将下列根式化成分数指数幂的形式： [解]　(1) 1．(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是____．(填序号) ①－ eq \r(x) ＝(－x) eq \s\up12(\f(1,2)) (x>0)； ② eq \r(6,y2) ＝y eq \s\up12(\f(1,3)) (y<0)； ③x eq \s\up12(－\f(3,4)) ＝ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(3)) (x>0)； ④x eq \s\up12(－\f(1,3)) ＝－ eq \r(3,x) (x≠0). (2)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0). ①a2 eq \r(a) ；② eq \r(3,a2) · eq \r(a3) ；③( eq \r(3,a) )2· eq \r(ab3) ；④ eq \f(a2,\r(6,a5)) . 解析　(1)对于①，－ eq \r(x) ＝－x eq \s\up12(\f(1,2)) ，故①错误；对于②，当y<0时， eq \r(6,y2) >0，y eq \s\up12(\f(1,3)) <0，故②错误；对于③，x eq \s\up12(－\f(3,4)) ＝ eq \f(1,\r(4,x3)) ＝ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(3)) (x>0)，故③正确；对于④，x eq \s\up12(－\f(1,3)) ＝ eq \f(1,\r(3,x)) ，故④错误．综上，故填③. (2)①原式＝a2a eq \s\up12(\f(1,2)) ＝a2＋ eq \s\up12(\f(1,2)) ＝a eq \s\up12(\f(5,2)) . ②原式＝a eq \s\up16(\f(2,3)) ·a eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \s\up16(\f(2,3)) ＋ eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \s\up12(\f(13,6)) . ③原式＝(a eq \s\up12(\f(1,3)) )2·(ab3) eq \s\up12(\f(1,2)) ＝a eq \s\up16(\f(2,3)) a eq \s\up12(\f(1,2)) b eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \s\up16(\f(2,3)) ＋ eq \s\up12(\f(1,2)) b eq \s\up16(\f(3,2)) ＝a eq \s\up12(\f(7,6)) b eq \s\up16(\f(3,2)) . ④原式＝a2·a eq \s\up12(－\f(5,6)) ＝a2 eq \s\up12(－\f(5,6)) ＝a eq \s\up12(\f(7,6)) . 答案　(1)③　(2)见解析 探究二　利用指数幂的运算性质化简求值 [例2]　计算下列各式(式中字母都是正数)： (1)(2 eq \f(3,5) )0＋2－2×(2 eq \f(1,4) ) eq \s\up12(－\f(1,2)) －(0.01)0.5； (2)(2 eq \f(7,9) )0.5＋0.1－2＋(2 eq \f(10,27) ) eq \s\up12(－\f(2,3)) －3π0＋ eq \f(37,48) ； (3)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)； (4)2 eq \r(3,a2) ÷4 eq \r(6,a·b) ·3 eq \r(b3) . [解]　(1)原式＝1＋ eq \f(1,4) ×( eq \f(4,9) ) eq \s\up12(\f(1,2)) －( eq \f(1,100) ) eq \s\up12(\f(1,2)) ＝1＋ eq \f(1,6) － eq \f(1,10) ＝ eq \f(16,15) . (2)原式＝( eq \f(25,9) ) eq \s\up12(\f(1,2)) ＋( eq \f(1,10) )－2＋( eq \f(64,27) ) eq \s\up12(－\f(2,3)) －3＋ eq \f(37,48) ＝ eq \f(5,3) ＋100＋ eq \f(9,16) －3＋ eq \f(37,48) ＝100. (3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c) ＝－ eq \f(1,3) a－3－(－4)b－2－(－2)c－1 ＝－ eq \f(1,3) ac－1＝－ eq \f(a,3c) . (4)原式＝2a eq \s\up16(\f(2,3)) ÷4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up12(\f(1,6))b\s\up12(\f(1,6)))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3b\s\up12(\f(3,2)))) ＝ eq \f(1,2) a eq \s\up16(\f(2,3)) eq \s\up12(－\f(1,6)) ·b eq \s\up12(－\f(1,6)) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3b\s\up12(\f(3,2)))) ＝ eq \f(3,2) a eq \s\up12(\f(1,2)) b eq \s\up12(\f(4,3)) . 2．化简求值： 解　(1) － eq \f(10,\r(5)－2) ＋1＝ eq \f(4,9) ＋10 eq \r(5) －10( eq \r(5) ＋2)＋1＝－ eq \f(167,9) . (2)原式＝ eq \r(\f(25,4)) － eq \r(3,\f(27,8)) ＋ eq \r(3,0.53) ＝ eq \f(5,2) － eq \f(3,2) ＋ eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,2) . 探究三　指数幂运算中的条件求值 [例3]　(1)已知am＝4，an＝3，则 eq \r(am－2n) 的值为(　　) A． eq \f(2,3) B．6 C． eq \f(3,2) D．2 (2)已知a eq \s\up12(\f(1,2)) ＋a－ eq \s\up12(\f(1,2)) ＝ eq \r(5) ，求下列各式的值． ①a＋a－1；②a2＋a－2；③a eq \s\up16(\f(3,2)) ＋a－ eq \s\up16(\f(3,2)) . [解析]　(1)因为am＝4，an＝3， 所以am－2n＝ eq \f(am,a2n) ＝ eq \f(4,9) ， 所以 eq \r(am－2n) ＝ eq \r(\f(4,9)) ＝ eq \f(2,3) . (2)①将a eq \s\up12(\f(1,2)) ＋a－ eq \s\up12(\f(1,2)) ＝ eq \r(5) 两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. ②将a＋a－1＝3两边平方，有a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7. ③a eq \s\up16(\f(3,2)) ＋a－ eq \s\up16(\f(3,2)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up12(\f(1,2)))) eq \s\up12(3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＝(a eq \s\up12(\f(1,2)) ＋a－ eq \s\up12(\f(1,2)) )(a－1＋a－1)＝ eq \r(5) ×2＝2 eq \r(5) . [答案]　(1)A　(2)见解析 1．(变结论)本例(2)条件不变，求a2－a－2的值． 解　设y＝a2－a－2，两边平方得 y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， ∴y＝±3 eq \r(5) ，即a2－a－2＝±3 eq \r(5) . 2．(变条件)将本例(2)中的条件改为a2＋a－2＝3，求a＋a－1的值． 解　∵a2＋a－2＝3，∴(a＋a－1)2－2＝3， 即(a＋a－1)2＝5，故a＋a－1＝± eq \r(5) . 3．(1)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求 eq \f(x\s\up12(\f(1,2))－y\s\up12(\f(1,2)),x\s\up12(\f(1,2))＋y\s\up12(\f(1,2))) 的值． (2)已知x>0，则(2x eq \s\up12(\f(1,4)) ＋3 eq \s\up16(\f(3,2)) )(2x eq \s\up12(\f(1,4)) －3 eq \s\up16(\f(3,2)) )－4x－ eq \s\up12(\f(1,2)) ·(x－x eq \s\up12(\f(1,2)) )＝________． (3)设2a＝5b＝m，且 eq \f(1,a) ＋ eq \f(1,b) ＝2，则m等于(　　) A． eq \r(10) B．10 C．20 D．100 解析　(1) eq \f(x\s\up12(\f(1,2))－y\s\up12(\f(1,2)),x\s\up12(\f(1,2))＋y\s\up12(\f(1,2))) ＝ eq \f(（x\s\up12(\f(1,2))－y\s\up12(\f(1,2))）2,（x\s\up12(\f(1,2))＋y\s\up12(\f(1,2))）（x\s\up12(\f(1,2))－y\s\up12(\f(1,2))）) ＝ eq \f(（x＋y）－2（xy）\s\up12(\f(1,2)),x－y) .① 因为x＋y＝12，xy＝9，② 所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. 因为x<y， 所以x－y＝－6 eq \r(3) .③ 将②③式代入①式， 得 eq \f(x\s\up12(\f(1,2))－y\s\up12(\f(1,2)),x\s\up12(\f(1,2))＋y\s\up12(\f(1,2))) ＝ eq \f(12－2×9\s\up12(\f(1,2)),－6\r(3)) ＝－ eq \f(\r(3),3) . (2)原式＝4x eq \s\up12(\f(1,2)) －33－4x eq \s\up12(\f(1,2)) ＋4＝－23. (3)由题知2a＝5b＝m，因而m eq \s\up12(\f(1,a)) ＝2，m eq \s\up12(\f(1,b)) ＝5，则m eq \s\up12(\f(1,a)) ＋ eq \s\up12(\f(1,b)) ＝2×5＝10，即m2＝10，则m＝ eq \r(10) 或m＝－ eq \r(10) ， 由于m>0，所以m＝ eq \r(10) ，故选A. 答案　(1)见解析　(2)－23　(3)A [例]　求(1 eq \f(1,2) )0－(1－0.5－2)÷( eq \f(27,8) ) eq \s\up16(\f(2,3)) 的值． [错解]　(1 eq \f(1,2) )0－(1－0.5－2)÷( eq \f(27,8) ) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝1－(－3)÷ eq \f(9,4) ＝4÷ eq \f(9,4) ＝ eq \f(16,9) . [错因分析]　在运算时，只按表达式的顺序求解，而没注意应该先做除法运算，再做加减运算． [正解]　(1 eq \f(1,2) )0－(1－0.5－2)÷( eq \f(27,8) ) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝1－(－3)÷ eq \f(9,4) ＝1－(－3× eq \f(4,9) )＝ eq \f(7,3) . $$