3.2.2 第2课时 函数奇偶性的应用（课件）-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第三章　函数的概念与性质 3.2　函数的基本性质 3.2.2　奇偶性 第2课时 函数奇偶性的应用 第三章　 函数的概念与性质 第三章　函数的概念与性质 第三章　函数的概念与性质 第三章　函数的概念与性质 第三章　函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 第三章　 函数的概念与性质 [学习任务] 1．掌握函数奇偶性的简单应用．(重点) 2．能够应用函数的奇偶性和单调性解决相关问题．(重点、难点) 探究一　利用函数的奇偶性求解析式 [例1]　已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x. (1)求f(x)在R上的函数解析式； (2)画出函数f(x)的图象，并根据图象写出它的单调区间． [解]　(1)∵f(x)的图象关于原点对称，∴f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x). 又f(x)的定义域为R，∴f(0)＝－f(0)，解得f(0)＝0. 设x<0，则－x>0.∵当x>0时，f(x)＝x2－2x， ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝－f(x)， ∴当x<0时，f(x)＝－x2－2x， ∴f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x＞0，,0，x＝0，,－x2－2x，x＜0.)) (2)由(1)可得f(x)的图象如图所示． 由图象可知f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1，1). 1．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解　因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x). 由f(x)＋g(x)＝2x＋x2，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2.② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 2．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图象； (3)根据图象，写出函数f(x)的单调递减区间及值域． 解　(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x). 当x＜0时，－x＞0， 所以f(x)＝f(－x)＝－x2－2x. 综上，f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0.)) (2)函数f(x)的图象如图所示： (3)由(2)中图象可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)，函数f(x)的值域为(－∞，1]. 探究二　利用函数的奇偶性与单调性比较大小 [例2]　已知偶函数f(x)的定义域为R，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) [解析]　∵f(x)在R上是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).∵2＜3＜π，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴f(2)＜f(3)＜f(π)，∴f(－2)＜f(－3)＜f(π).故选A. [答案]　A 1．(变条件)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？ 解　因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以有f(2)＞f(3)＞f(π). 又因为f(x)是R上的偶函数， 所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)， 从而有f(－2)＞f(－3)＞f(π). 2．(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小． 解　因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数． 因为－3＜－2＜π，所以f(－3)＜f(－2)＜f(π). 探究三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式 [例3]　已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围． [解]　因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上单调递减，所以f(x)在区间[－2，2]上单调递减． 又f(1－m)＜f(m)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m＞m，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m＜\f(1,2)．)) 解得－1≤m＜ eq \f(1,2) . 故实数m的取值范围是[－1， eq \f(1,2) ). 3．(变条件)若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围． 解　因为函数为[－2，2]上的偶函数，函数在区间[－2，0]上单调递减，所以函数在区间[0，2]上单调递增， 原不等式可化为f(|1－m|)＜f(|m|)， 故可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,|1－m|＜|m|，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m＞\f(1,2)，)) 解得 eq \f(1,2) ＜m≤2.故实数m的取值范围为( eq \f(1,2) ，2]. 3．(1)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，求满足f(2x－1)＞f( eq \f(1,3) )的实数x的取值范围． (2)已知函数y＝f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减．若f(a)＜f(2)，求实数a的取值范围． 解　(1)因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，且满足f(2x－1)＞f( eq \f(1,3) )，所以不等式等价为f(|2x－1|)＞f( eq \f(1,3) )，即|2x－1|＜ eq \f(1,3) ，所以－ eq \f(1,3) ＜2x－1＜ eq \f(1,3) ，计算得出 eq \f(1,3) ＜x＜ eq \f(2,3) ，故x的取值范围是( eq \f(1,3) ， eq \f(2,3) ). (2)∵y＝f(x)是偶函数， ∴f(a)＝f(|a|). 又|a|≥0，且f(|a|)＜f(2)， ∴|a|＞2，即a＞2或a＜－2. ∴实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞). $$