2024年中考数学压轴专题复习讲义-09二次函数背景下的新定义专题

九年级专题复习讲义 主题：09二次函数背景下的新定义专题 我爱数学，学习使我快乐 【例1】 在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”.已知：点在函数的图像上（如图9所示），点的“关联点”是点. （1）请在图9的基础上画出函数的图像，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图像上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，）.如果点的“待定关联点”在函数的图像上，试用含的代数式表示点的坐标. 【例2】在平面直角坐标系（如图5）中，二次函数（其中是常数，且）的图像是开口向上的抛物线. （1）求该抛物线的顶点的坐标； （2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线与轴的交点记为，如果线段上的“整点”的个数小于，试求的取值范围； （3）如果、、、这四个函数值中有且只有一个值大于，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图像，求的取值范围. 图5 【变式1】设，是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[，]．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间[，]上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，恒有，所以说函数是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数也是闭区间[1，3]上的“闭函数”． （1）反比例函数是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）如果已知二次函数是闭区间[2，]上的“闭函数”，求和的值； （3）如果（2）所述的二次函数的图像交轴于C点， A为此二次函数图像的顶点，B为直线上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y＝x2－2x“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式. x y O （第24题图） 1.在平面直角坐标系中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”． （1）已知原抛物线表达式是，求它的“影子抛物线”的表达式； （2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是，求原抛物线的表达式； （3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．x O y 2.在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． （1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果∠CFE =∠DEC，求点F的坐标． x y O （第24题图） 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点P在抛物线的对称轴上，且纵坐标为． （1）求抛物线的表达式以及点P的坐标； （2） 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称α为此三角形的“特征角”． ①点D在射线AP上，如果∠DAB为△ABD的特征角，求点D的坐标； ②点E为第一象限内抛物线上一点，点F在x轴上，CE⊥EF，如果∠CEF为△ECF的特征角，求点E的坐标． O A y x B C 2.在平面直角坐标系中，我们把以抛物线上的动点为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”，如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与轴交于点，设点的横坐标为（），过点作轴的垂线交轴于点. （1）当时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含的代数式表示的余切值； （3）如果，求的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级专题复习讲义 主题：09二次函数背景下的新定义专题 我爱数学，学习使我快乐 【例1】 【2020嘉定一模】在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”.已知：点在函数的图像上（如图9所示），点的“关联点”是点. （1）请在图9的基础上画出函数的图像，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图像上，求点的坐标； （3）将点称为点的“