(素能提升训练) 5.3.1 函数的单调性-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十八　函数的单调性 [对应素能提升训练第35页] 1.下列函数中,在（2,＋∞）内为增函数的是 （　　） A.3sin x B.（x－3）ex C.x3－15x D.ln x－x 解析　（3sin x）'＝3cos x,[（x－3）ex]'＝（x－3）'ex＋（x－3）（ex）'＝（x－2）ex,（x3－15x）'＝3x2－15,（ln x－x）'＝－1,当x＞2时,只有[（x－3）ex]'＞0恒成立,故选B. 答案　B 2.设函数f（x）在定义域内可导,y＝f（x）的图象如图所示,则导函数y＝f'（x）的图象可能为 （　　） 解析　由函数的图象可知：当x＜0时,函数单调递增,导数始终为正；当x＞0时,函数先增后减再增,即导数先正后负再正,对照选项,故选D. 答案　D 3．已知定义在(－3，3)上的函数f(x)的导函数f′(x)＞1，且f(2m)＜f(m＋1)，则实数m的取值范围为(　　) A．(－∞，1)　　　　 B．(1，＋∞) C． D． 解析　因为f′(x)＞1＞0，所以函数f(x)在(－3，3)上单调递增．又f(2m)＜f(m＋1)， 所以解得－＜m＜1. 答案　C 4．(重庆第二外国语学校高二期中)若函数f(x)＝ex(x2＋a)在上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－∞，－8) C． D． 解析　因为函数f(x)＝ex(x2＋a)，所以f′(x)＝ex(x2＋2x＋a).因为函数f(x)＝ex(x2＋a)在上单调递减，所以f′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在上恒成立，即a≤－x2－2x在上恒成立．令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，则在上，t≥－8，则a≤－8.当a＝－8时，f′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex不恒为零，也符合题意，所以实数a的取值范围是 (－∞，－8]，故选C. 答案　C 5．(重庆南开中学期末)已知函数f(x)＝2x－－a ln x在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是________. 解析　由题意得f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝2＋－≤0在(1，2)上恒成立，即a≥2x＋在(1，2)上恒成立．设h(x)＝2x＋(x＞0)，则h′(x)＝2－＝＝，x＞0.当x∈(1，2)时，h′(x)＞0，所以h(x)在(1，2)上单调递增，所以h(x)＜h(2)＝5，所以a≥5，即实数a的取值范围是. 答案　 6.已知f（x）是定义在R上的奇函数,且f（2）＝0,若当x＞0时,xf'（x）＋f（x）＞0,则不等式xf（x）＞0的解集是　　　　　　　　.  解析　由题意设g（x）＝xf（x）,则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.∵当x＞0时,xf'（x）＋f（x）＞0,∴g（x）在（0,＋∞）上单调递增.∵f（x）是定义在R上的奇函数,∴g（x）是定义在R上的偶函数.又f（2）＝0,则g（2）＝2f（2）＝0,∴不等式xf（x）＞0等价于g（x）＞0＝g（2）, ∴｜x｜＞2,解得x＜－2或x＞2,∴不等式xf（x）＞0的解集是（－∞,－2）∪（2,＋∞）. 答案　（－∞,－2）∪（2,＋∞） 7.已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2. （1）若a＝1,求曲线y＝f（x）在点（1,f（1））处的切线方程； （2）若a＞0,求函数f（x）的单调区间. 解　（1）∵a＝1,∴f（x）＝x3＋x2－x＋2, ∴f'（x）＝3x2＋2x－1, ∴f'（1）＝4.又f（1）＝3, ∴切点坐标为（1,3）, ∴所求切线方程为y－3＝4（x－1）,即4x－y－1＝0. （2）定义域为R,且f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a）, 由f'（x）＝0得x＝－a或x＝. 又a＞0,由f'（x）＜0,得－a＜x＜, 由f'（x）＞0,得x＜－a或x＞, 故f（x）的单调递减区间为,单调递增区间为（－∞,－a）和. 8.已知y＝xf'（x）的图象如图所示（其中f'（x）是函数f（x）的导函数）,下面四个图象中,是y＝f（x）的大致图象的是 （　　） 解析　当0＜x＜1时,xf'（x）＜0, ∴f'（x）＜0,故f（x）在区间（0,1）上为减函数； 当x＞1时,xf'（x）＞0,∴f'（x）＞0, 故y＝f（x）在区间（1,＋∞）上为增函数.故选C. 答案　C 9．若函数y＝f(x)在区间D上单调递增，且函数y＝f′(x)在区间D上也单调递增(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，那么称函数y＝f(x)是区间D上的“快增函数”，区间D叫作“快增区间”，则函数f(x)＝sin2x＋2sinx(x∈)的“快增区间”为(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析　由题知f′(x)＝2sin x cos x＋2cos x＝2cos x(sin x＋1).sin x＋1≥0恒成立，当x∈时，cos x≥0，所以f′(x)≥0，即f(x)单调递增；当x∈时，cos x＜0，所以f′(x)＜0，即f(x)单调递减．令g(x)＝f′(x)＝2sin x cos x＋2cos x，x∈，则g′(x)＝2cos2x－2sin2x－2sinx＝2－4sin2x－2sinx.令t＝sin x，则t∈，令h(t)＝－4t2－2t＋2＝－2(2t－1)(t＋1)(t∈)，所以当t∈时，h(t)≥0，即x∈时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以函数f(x)＝sin2x＋2sinx(x∈)的“快增区间”为.故选A. 答案　A 10.已知函数f（x）＝xln x＋x（x－a）2（a∈R）.若存在x∈,使得f（x）＞xf'（x）成立,则实数a的取值范围是（　　） A. B. C.（,＋∞） D.（3,＋∞） 解析　由f（x）＞xf'（x）成立,可得'＝＜0.设g（x）＝＝ln x＋（x－a）2,则存在x∈,使得g'（x）＝＋2（x－a）＜0成立,即a＞.又x＋≥2＝,当且仅当x＝,即x＝时取等号,所以a＞.故选C. 答案　C 11.函数f（x）＝（a＞0）的单调递增区间是　　　　.  解析　f'（x）＝（a＞0）,令f'（x）＞0,解得－1＜x＜1,故f（x）的单调递增区间是 （－1,1）. 答案　（－1,1） 12．若函数f(x)＝x3－2x2＋ax＋10在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是____________________. 解析　f′(x)＝2x2－4x＋a，函数f(x)在区间上具有单调性等价于f′(x)＝2x2－4x＋a≤0或f′(x)＝2x2－4x＋a≥0在上恒成立，则在区间上，a≤(－2x2＋4x)min或a≥ (－2x2＋4x)max，即a≤－16或a≥2. 答案　∪ 13．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)的单调递减区间是，求实数a的值． 解　(1)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＝3x. ①当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)； ②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＜－或x＞0， 令f′(x)＜0，得－＜x＜0， 所以f(x)的单调递增区间为，(0，＋∞)，单调递减区间为； ③当a＜0时，令f′(x)＞0，得x＜0或x＞－，令f′(x)＜0，得0＜x＜－， 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，，单调递减区间为. (2)由(1)知，若f(x)在内单调递减， 则－≤－，解得a≥1， 即a的取值范围是. (3)由(1)知，若f(x)的单调递减区间是，则－＝－，解得a＝1. 14.已知函数f（x）＝aln x－ax－3（a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若函数y＝f（x）的图象在点（2,f（2））处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g（x）＝x3＋x2在区间（t,3）上总不是单调函数,求m的取值范围. 解　（1）f'（x）＝（x＞0）. 当a＞0时,令f'（x）＞0得0＜x＜1, 令f'（x）＜0得x＞1,则f（x）的单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（1,＋∞）； 当a＜0时,令f'（x）＞0得x＞1,令f'（x）＜0,得0＜x＜1, 则f（x）的单调递增区间为（1,＋∞）,单调递减区间为（0,1）； 当a＝0时,f（x）不是单调函数. （2）由f'（2）＝－＝1得a＝－2, ∴f（x）＝－2ln x＋2x－3. ∴g（x）＝x3＋x2－2x, ∴g'（x）＝3x2＋（m＋4）x－2. ∵g（x）在区间（t,3）上总不是单调函数,且g'（0）＝－2, 结合函数g'（x）的图象可得 由题意知对于任意的t∈[1,2],g'（t）＜0恒成立, ∴解得－＜m＜－9. 故m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$