(素能提升训练) 5.2.3 简单复合函数的导数-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十七　简单复合函数的导数 [对应素能提升训练第33页] 1．已知函数f(x)＝ln (ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为(　　) A． B． C． D．1 解析　f′(x)＝，则f′(2)＝＝2，解得a＝. 答案　B 2．(北京市第二中学高二月考)已知函数f(x)＝esin xcos x，则曲线f(x)在x＝0处的切线的斜率为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　因为f′(x)＝(esin x)′cos x＋esin x(cos x)′＝esin x·cos2x－esinx·sin x，所以f′(0)＝esin 0·cos20－esin0·sin 0＝1. 答案　C 3．(多选)(重庆巴蜀中学期末)定义在R上的函数f(x)，g(x)的导函数分别为f′(x)，g′(x)，则下列说法正确的是(　　) A．若f′(x)＝g′(x)，则f(x)＝g(x) B．若f(x)＝g(x)，则f′(x)＝g′(x) C．若函数f(x)是奇函数，则导函数f′(x)一定是偶函数 D．若函数g(x)是偶函数，则导函数g′(x)一定是奇函数 解析　对于A，令f(x)＝x，g(x)＝x＋1，则f′(x)＝g′(x)＝1，但f(x)≠g(x)，故A错误；B显然正确；对于C，若f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，两边同时求导得－f′(－x)＝－f′(x)，即 f′(－x)＝f′(x)，故f′(x)是偶函数，故C正确；对于D，若g(x)是偶函数，则g(－x)＝g(x)，两边同时求导得－g′(－x)＝g′(x)，所以g′(x)是奇函数．故D正确．故选BCD. 答案　BCD 4.已知点P在曲线y＝上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析　y'＝＝＝. ∵ex＋≥2,∴ex＋＋2≥4,∴y'∈[－1,0）,即tan α∈[－1,0）,∴α∈. 答案　D 5.函数y＝cos 的导数为　　　　.  解析：y'＝'＝－sin·（－3）＝3sin. 答案　3sin 6．(贵州贵阳一中高二质量检测)对于y＝ax(a＞0，且a≠1)这类函数的求导，可以使用下面的方式进行： 第一步：ln y＝ln ax＝x ln a； 第二步：(ln y)′＝(x ln a)′； 第三步：·y′＝ln a； 第四步：y′＝y·ln a＝ax·ln a. 根据框内的信息，函数y＝xx(x＞0)的导数y′＝________. 解析　因为y＝xx，故可得ln y＝x ln x，所以(ln y)′＝(x ln x)′，即·y′＝ln x＋1，所以y′＝y(ln x＋1)＝xx(ln x＋1). 答案　xx(ln x＋1) 7.求下列函数的导数： （1）y＝cos（1＋x2）； （2）y＝ln（2x2＋x）. 解　（1）设u＝1＋x2,y＝cos u,所以y'x＝y'u·u'x＝（cos u）'·（1＋x2）'＝－sin u·2x＝－2xsin（1＋x2）. （2）设u＝2x2＋x,则y'x＝y'u·u'x ＝（ln u）'·（2x2＋x）'＝·（4x＋1）＝. 8．设曲线f(x)＝aex＋b和曲线g(x)＝cos ＋c在它们的公共点M(0，2)处有相同的切线，则b＋c－a的值为(　　) A．0 B．π C．－2 D．3 解析　因为f′(x)＝aex，g′(x)＝－sin ，所以f′(0)＝a，g′(0)＝0，所以a＝0.又M(0，2)为f(x)与g(x)的公共点，所以f(0)＝b＝2，g(0)＝1＋c＝2，解得c＝1，所以b＋c－a＝2＋1－0＝3. 答案　D 9.某市在一次降雨过程中,降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可近似地表示为y＝ f（t）＝,则在时刻t＝40 （min）的降雨强度为 （　　） A.20 mm B.400 mm C. mm/min D. mm/min 解析　f'（t）＝·10＝,所以f'（40）＝＝. 答案　D 10.已知某函数的导数为y'＝,则这个函数可能是 （　　） A.y＝ln B.y＝ln C.y＝ln（1－x） D.y＝ln 解析　对于A,函数y＝ln可以看作y＝ln u,u＝和v＝1－x的复合函数,∴y'x＝y'u·u'v·v'x＝（ln u）'·（）'·（1－x）'＝··（－1）＝··（－1）＝＝,符合；对于B,y＝ln ＝－ln,∴y'＝,不符合；对于C,y＝ln（1－x）可以看作y＝ln u和u＝1－x的复合函数,∴y'x＝y'u·u'x＝（ln u）'（1－x）'＝·（－1）＝,不符合；对于D,y＝ln ＝ －ln（x－1）,∴y'＝－,不符合. 答案　A 11．(湖南长沙市一中调研)若曲线f(x)＝a－2x在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则a＝________. 解析　由题得f′(x)＝a－2＝a－2，由f′(1)＝a－2＝2，得a＝2. 答案　2 12.设f（x）＝ln（x＋1）＋＋ax＋b（a,b∈R,a,b为常数）,曲线y＝f（x）与直线y＝x在（0,0）点相切,则a＝　　　　,b＝　　　　.  解析　由曲线y＝f（x）过（0,0）点,可得ln 1＋1＋b＝0,故b＝－1.由f（x）＝ln（x＋1）＋＋ax＋b,得f'（x）＝＋＋a,则f'（0）＝1＋＋a＝＋a,此即为曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线的斜率.由题意,得＋a＝,故a＝0.所以a＝0,b＝－1. 答案　0　－1 13.曲线y＝f（x）＝e2x·cos 3x在（0,1）处的切线与直线l的距离为,求直线l的方程. 解　∵f'（x）＝（e2x）'·cos 3x＋e2x·（cos 3x）' ＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x, ∴f'（0）＝2. ∴经过点（0,1）的切线方程为y－1＝2（x－0）, 即y＝2x＋1. 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b, 根据题意,得＝, ∴b＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. 14.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离s（单位：m）关于时间t（单位：s）的函数为s＝s（t）＝5－.求函数在t＝时的导数,并解释它的实际意义. 解　函数s＝5－是由函数f（x）＝5－和函数x＝φ（t）＝25－9t2复合而成的,其中x是中间变量. f'（x）＝－,φ'（t）＝－18t. 由复合函数求导法则得 s'（t）＝f'（x）φ'（t）＝－·（－18t）＝ . 将t＝代入s'（t）,得s'＝0.875（m/s）. 它表示当t＝时,梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 学科网（北京）股份有限公司 $$