(素能提升训练) 4.4 数学归纳法-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练十一　数学归纳法 [对应素能提升训练第21页] 1．(河南南阳开学考试)观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…则可归纳出1＋＋＋…＋(n∈N*)小于(　　) A． B． C． D． 解析　由已知式子可知所猜测的分式的分母为n＋1，分子为分母的2倍再减1，即2n＋1， ∴可归纳得1＋＋＋…＋＜.故选C. 答案　C 2.已知f（n）＝＋＋＋…＋,则 （　　） A.f（n）中共有n项,当n＝2时,f（2）＝＋ B.f（n）中共有n＋1项,当n＝2时,f（2）＝＋＋ C.f（n）中共有n2－n项,当n＝2时,f（2）＝＋ D.f（n）中共有n2－n＋1项,当n＝2时,f（2）＝＋＋ 解析　由f（n）可知,f（n）中共有n2－n＋1项,且n＝2时,f（2）＝＋＋. 答案　D 3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an（n≥2）,而a1＝1,通过计算a2,a3,a4,猜想an等于 （　　） A. B. C. D. 解析　a2＝,a3＝,a4＝,猜想an＝. 答案　B 4.对于不等式＜n＋1（n∈N*）,某学生的证明过程如下： （1）当n＝1时,＜1＋1,不等式成立. （2）假设n＝k（k∈N*）时,不等式成立,即＜k＋1,则n＝k＋1时,＝＜＝＝（k＋1）＋1, ∴当n＝k＋1时,不等式成立,上述证法 （　　） A.过程全都正确 B.n＝1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析　n＝1的验证及归纳假设都正确,但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选D. 答案　D 5.设f（n）＝1＋＋＋…＋（n∈N*）,那么f（n＋1）－f（n）等于　 　　　　　　　　.  解析　f（n＋1）－f（n）＝＋＋. 答案　＋＋ 6.用数学归纳法证明“当n∈N*时,求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时,当n＝1时,原式为　　　　　　　,从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　　　　　　　.  解析　当n＝1时,原式应加到25×1－1＝24,所以原式为1＋2＋22＋23＋24,从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25（k＋1）－1. 答案　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 7．用数学归纳法证明：11n＋1＋122n－1(n∈N*)能被133整除． 证明　①当n＝1时，11n＋1＋122n－1＝112＋12＝133能被133整除，所以当n＝1时结论成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，11k＋1＋122k－1能被133整除， 那么当n＝k＋1时， 11k＋2＋122k＋1＝11k＋1×11＋122k－1×122 ＝11k＋1×11＋122k－1×11－122k－1×11＋122k－1×122 ＝11×(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1. 由假设可知11×(11k＋1＋122k－1)＋133×122k－1能被133整除，即11k＋2＋122k＋1能被133整除， 所以当n＝k＋1时结论也成立． 综上，11n＋1＋122n－1(n∈N*)能被133整除． 8.凸n边形有f（n）条对角线,则凸（n＋1）边形对角线的条数f（n＋1）为 （　　） A.f（n）＋n＋1 B.f（n）＋n C.f（n）＋n－1 D.f（n）＋n－2 解析　增加一个顶点,就增加n＋1－3条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故f（n＋1）＝f（n）＋1＋n＋1－3＝f（n）＋n－1.故选C. 答案　C 9.（多选）已知一个命题p（k）,k＝2n（n∈N*）,若当n＝1,2,…,1 000时,p（k）成立,且当n＝ 1 001时也成立,则下列判断中正确的是 （　　） A.p（k）对k＝528成立 B.p（k）对每一个自然数k都成立 C.p（k）对每一个正偶数k都成立 D.p（k）对某些偶数可能不成立 解析　由题意知p（k）对k＝2,4,6,…,2 002成立,当k取其他值时不能确定p（k）是否成立,故选AD. 答案　AD 10．(四川广安二中高二期中)用数学归纳法证明＋＋…＋≥时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边需添加的项是(　　) A．＋＋ B．＋＋－ C．－ D． 解析　不等式左边需添加的项是[＋＋…＋]－(＋＋…＋)＝＋＋－.故选B. 答案　B 11.用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f（n）部分,则f（n）＝1＋.”证明第二步归纳递推时,用到f（k＋1）＝f（k）＋　　　　.  解析　f（k）＝1＋, f（k＋1）＝1＋, ∴f（k＋1）－f（k） ＝－＝k＋1, ∴f（k＋1）＝f（k）＋（k＋1）. 答案　k＋1 12.（梧州高二阶段考）已知n为正偶数,用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时,若已假设当n＝k（k≥2,k为偶数）时等式成立,则还需要用归纳假设再证n＝　　　　时等式成立.  解析　假设当n＝k（k≥2且k为偶数）时,等式成立,即1－＋－＋…＋－＝2成立.由于对所有正偶数等式都成立,则归纳递推时,应该是再证明取下一个偶数时,等式也成立.所以应证明当n＝k＋2时,等式也成立.故答案为k＋2. 答案　k＋2 13.设函数y＝f（x）对任意实数x,y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy. （1）求f（0）的值； （2）若f（1）＝1,求f（2）,f（3）,f（4）的值； （3）在（2）的条件下,猜想f（n）（n∈N*）的表达式,并用数学归纳法加以证明. 解　（1）令x＝y＝0,得f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋2×0×0⇒f（0）＝0. （2）f（1）＝1,f（2）＝f（1＋1）＝1＋1＋2＝4, f（3）＝f（2＋1）＝4＋1＋2×2×1＝9, f（4）＝f（3＋1）＝9＋1＋2×3×1＝16. （3）猜想f（n）＝n2,下面用数学归纳法证明. 当n＝1时,f（1）＝1满足条件. 假设当n＝k（k∈N*）时成立,即f（k）＝k2,则当n＝k＋1时,f（k＋1）＝f（k）＋f（1）＋2k＝k2＋1＋2k＝（k＋1）2,从而可得当n＝k＋1时满足条件,所以对任意的正整数n,都有f（n）＝n2. 14.观察下列各式： 13＝12, 13＋23＝32, 13＋23＋33＝62, 13＋23＋33＋43＝102, …… 总结出一般规律,并用数学归纳法证明你所得到的结论. 解　观察各式,可得一般规律：13＋23＋33＋…＋n3＝. 用数学归纳法证明如下： （1）当n＝1时,左边＝13＝1,右边＝＝1,等式成立； （2）假设当n＝k（k∈N*）时,等式成立, 即13＋23＋33＋…＋k3＝, 那么当n＝k＋1时, 13＋23＋33＋…＋k3＋（k＋1）3＝＋（k＋1）3 ＝（k＋1）2＋（k＋1）（k＋1）2＝（k＋1）2 ＝＝ ＝, 故当n＝k＋1时,等式也成立. 综上可知,等式对于一切正整数n都成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$