(素能提升训练) 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练八　等比数列的性质及应用 [对应素能提升训练第15页] 1．(吉林普通中学调研)已知{an}是等比数列，下列数列一定是等比数列的是(　　) A．(k∈R) B．{an＋an＋1} C．{an＋1} D．{an＋an＋1＋an＋2} 解析　设等比数列{an}的公比为q.当k＝0时，kan＝0，数列{kan}不是等比数列；当q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列；当an＝－1时，an＋1＝0，数列{an＋1}不是等比数列．因为an＋an＋1＋an＋2＝an(1＋q＋q2)≠0，所以＝＝q.由等比数列的定义可知，数列{an＋an＋1＋an＋2}是等比数列．故选D. 答案　D 2．(湖北襄阳四中期末)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2·a8＝8，则＋＋＋的值为(　　) A．20 B．10 C．5 D． 解析　由等比数列的性质可得a4·a6＝a2·a8＝8，所以＋＋＋＝＋＝＝＝.故选D. 答案　D 3.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位,递减的比例为40%.今共有粮m（m＞0）石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行衰分,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和为164石,则“衰分比”与m的值分别为 （　　） A.20%,369 B.80%,369 C.40%,360 D.60%,365 解析　设“衰分比”为a（a＞0）,甲衰分得b石,由题意得解得故选A. 答案　A 4.两个公比均不为1的等比数列{an},{bn},其前n项的乘积分别为An,Bn.若＝2,则＝ （　　） A.512 B.32 C.8 D.2 解析　因为A9＝a1a2a3…a9＝,B9＝b1b2b3…b9＝,所以＝＝512. 答案　A 5.在3和一个未知数间填上一个数,使三数成等差数列,若中间项减去6,成等比数列,则此未知数是　　　　.  解析　设此三数为3,a,b,则 解得或所以这个未知数为3或27. 答案　3或27 6．在等比数列{an}中，a1a2a3＝2，an－2an－1an＝4，且a1·a2·a3·…·an＝64，则数列{an}有________项． 解析　由题意及等比数列的性质得a1a2a3an－2an－1an＝(a1an)3＝8，即a1an＝2，则a1·a2·a3·…·an＝64＝26＝(a1an)6，故数列{an}有12项． 答案　12 7．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝27，且a5＋6a4＝a2a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2log3an，Sn是数列{bn}的前n项和，求使得Sn≥270成立的正整数n的最小值． 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意得an＞0，则q＞0. 由a2＝27，且a5＋6a4＝a2a3， 得a2q3＋6a2q2＝aq，即q2＋6q－27＝0， 解得q＝－9(舍去)或q＝3， 所以数列{an}的通项公式为an＝27×3n－2＝3n＋1(n∈N*). (2)由(1)得bn＝2log3an＝2log33n＋1＝2(n＋1)， 则bn＋1－bn＝2(n＋2)－2(n＋1)＝2. 由等差数列的定义知，数列{bn}是首项为b1＝2×2＝4，公差为2的等差数列， 则Sn＝＝＝n2＋3n. 由Sn≥270，得n2＋3n－270≥0， 解得n≤－18(舍去)或n≥15(n∈N*)， 故使得Sn≥270成立的正整数n的最小值为15. 8．(多选)(广东佛山高二期中)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，则下列说法正确的是(　　) A．q2＝3 B．a＝4 C．a4a6＝2 D．n＝12 解析　已知正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则an＝a1qn－1.由a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，得a＝4，a＝12，B正确；而a5＝a2q3，于是(a2q3)3＝12，即q9＝3，A错误；而a5＝，则a4a6＝a＝2，C错误；由an＋1an＋2an＋3＝324，得a＝324，即(a2qn)3＝324.因为a＝4，所以q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，显然q＞1，所以3n＝36，解得n＝12，D正确．故选BD. 答案　BD 9.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1a6a11＝－3,b1＋b6＋b11＝7π,则tan 的值是 （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　因为{an}是等比数列,所以a1a6a11＝＝－3,所以a6＝－,所以a4a8＝＝3.因为{bn}是等差数列,所以b1＋b6＋b11＝3b6＝7π,所以b6＝,所以b3＋b9＝2b6＝.所以＝－,所以tan ＝tan ＝－tan ＝－. 答案　A 10．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．下列定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为(　　) A．f(x)＝x2　　　　 B．f(x)＝2x C．f(x)＝ D．f(x)＝ln 解析　设等比数列{an}的公比为q.对于A，＝＝q2，是常数，故A符合条件；对于B，＝，不一定是常数，故B不符合条件；对于C，＝＝＝，是常数，故C符合条件；对于D，＝，不一定是常数，故D不符合条件．故选AC. 答案　AC 11.在等比数列{an}中,若a7＝－2,则数列的前13项之积等于　　　　.  解析　由于{an}是等比数列,∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝,∴a1a2a3…a13＝（）6a7＝,而a7＝－2.∴a1a2a3…a13＝（－2）13＝－213. 答案　－213 12．(江苏常州高二段考)如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为1，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则n级雪花曲线的边长为________，n级雪花曲线的周长为________. 解析　设n级雪花曲线的边长为an，则数列{an}是首项为，公比为的等比数列，故n级雪花曲线的边长为an＝×＝.设n级雪花曲线的边数为bn，则数列{bn}是首项为12，公比为4的等比数列，故n级雪花曲线的边数为12×4n－1，则n级雪花曲线的周长为12×4n－1×＝. 答案　　 13.在等比数列{an}（n∈N*）中,a1＞1,公比q＞0.设bn＝log2 an,且b1＋b3＋b5＝6,b1b3b5＝0. （1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. 解　（1）证明：因为bn＝log2 an, 所以bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an ＝log2 ＝log2 q（q＞0）为常数, 所以数列{bn}为等差数列且公差d＝log2 q. （2）因为b1＋b3＋b5＝6, 所以（b1＋b5）＋b3＝2b3＋b3＝3b3＝6,即b3＝2. 又因为a1＞1,所以b1＝log2a1＞0, 又因为b1b3b5＝0,所以b5＝0, 即即解得 因此Sn＝4n＋（－1）＝. 又因为d＝log2 q＝－1, 所以q＝,b1＝log2 a1＝4, 即a1＝16,所以an＝25－n（n∈N*）. 14.1979年春,美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士,在访问中国科技大学时,向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣题：有五只猴子在海边发现一堆桃子,决定第二天来平分.第二天清晨,第一只猴子来了,它左等右等,见别的猴子还没来,便自作主张把桃子分成相等的五份,分完后还剩一个,它便把剩下的那个顺手扔到海里,自己拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了,它不知道刚才发生的事,也把桃子分成相等的五份,还是多一个,它也扔掉一个,自己拿了一份走了.以后每只猴子来时也都遇到类似情形,也全都照此办理.问：原来至少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？ 解　设最初的桃子数为a1,5只猴子分剩的桃子数依次为a2,a3,a4,a5,a6. 由题意得an＋1＝（an－1）－（an－1）＝an－. ① 设an＋1＋x＝（an＋x）,即an＋1＝an－x, 对照①式,得x＝4,即an＋1＋4＝（an＋4）, 所以数列{an＋4}是首项为a1＋4,公比为的等比数列. 所以a6＋4＝（a1＋4）×, 所以a6＝（a1＋4）×－4. 由于a6为整数,所以a1＋4的最小值为55, 所以a1的最小值为55－4＝3 121. 即最初至少有3 121个桃子,从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020（个）桃子. 学科网（北京）股份有限公司 $$