(素能提升训练) 4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练七　等比数列的概念与通项公式 [对应素能提升训练第13页] 1．(山东临沂三中期末)在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为(　　) A．10 B．8 C．±8 D．±10 解析　a2和a10的等比中项为±＝±＝±8.故选C. 答案　C 2．(多选)(上海师大附中期中)若数列{an}对任意n≥2，n∈N*都有(an－an－1－1)·(an－2an－1)＝0，则下列说法正确的是(　　) A．{an}可以是等差数列 B．{an}可以是等比数列 C．{an}可以既是等差数列又是等比数列 D．{an}可以既不是等差数列又不是等比数列 解析　∵数列{ an }对任意n≥2(n∈N*)都有(an－an－1－1)( an－2 an－1)＝0，∴an－an－1＝1或an＝2 an－1，若an－an－1＝1，则数列{ an }是等差数列；若an＝2 an－1，且an≠0，则数列{ an }是等比数列，故A，B正确；由(an－an－1－1)( an－2 an－1)＝0，得不出数列{ an }是非零常数列，故{ an }不可以既是等差数列又是等比数列，故C错误；当数列{ an }的各项依次为0，1，2，4，8，16，32，…时，满足条件，但数列{ an }既不是等差数列也不是等比数列，故D正确． 答案　ABD 3.等比数列{an}的公比｜q｜＞1,{an}中有连续四项在集合{－54,－24,－18,36,81}中,则q等于 （　　） A.－ B. C.－ D. 解析　∵{an}中的项必然有正有负,∴q＜0.又｜q｜＞1, ∴{｜an｜}递增或递减.由此可得{an}的连续四项为－24,36,－54,81.∴q＝－. 答案　C 4.在公差不为0的等差数列{an}中,a1＝1,且a3,a7,a16成等比数列,则公差为 （　　） A. B.－ C. D.1 解析　设等差数列{an}的公差为d（d≠0）,由a1＝1,a3,a7,a16成等比数列,得＝a3a16,即（1＋6d）2＝（1＋2d）（1＋15d）,整理得6d2－5d＝0,解得d＝或d＝0（舍去）,即数列{an}的公差d＝,故选C. 答案　C 5.数列{an}是等差数列,若a1＋1,a3＋3,a5＋5构成公比为q的等比数列,则q＝　　　　.  解析　设等差数列的公差为d,则a3＝a1＋2d,a5＝a1＋4d, ∴（a1＋2d＋3）2＝（a1＋1）（a1＋4d＋5）,解得d＝－1, ∴q＝＝＝1. 答案　1 6．已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，则数列{an}中能构成等比数列的三项可以为________. 解析　因为数列{an}的通项公式为an＝3n－1，所以数列{an}中的项依次为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，…显然＝，所以2，8，32能构成等比数列．(注：满足题意的三项均可) 答案　2，8，32(答案不唯一) 7．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式． 解　(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an).因为数列{an}的各项都为正数，所以a1＋a2＞0，所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列． (2)由(1)得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，整理得an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an).又a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，所以an＋1＝3an，所以数列{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列，所以数列{an}的通项公式为an＝. 8．(贵州贵阳模考)已知数列{an}的首项a1＝3，且数列{log3an}是以－2为公差的等差数列，则a3＝________. 解析　因为数列{log3an}是以－2为公差的等差数列，则log3an＋1－log3an＝log3＝ －2，所以＝3－2＝，所以数列{an}是首项为3，公比为的等比数列，因此a3＝3× ＝. 答案　 9.在数列{an}中,已知a1＝1,an＋1＝3an＋2,则an＝（　　） A.2·3n－1＋1 B.3n－1－1 C.2·3n－1－1 D.2·3n＋1 解析　等式两边同时加1,得an＋1＋1＝3（an＋1）,所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项,q＝3为公比的等比数列,所以an＋1＝2·3n－1,所以an＝2·3n－1－1. 答案　C 10.如图给出了一个三角形数阵,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij（i,j∈N*）,则a53的值为 （　　） , ,, … A. B. C. D. 解析　第一列构成首项为,公差为的等差数列,所以a51＝＋（5－1）×＝.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为,公比为的等比数列,所以a53＝×＝. 答案　C 11.已知三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则此时的三个数成等差数列,则原来的三个数的和等于　　　　.  解析　依题意设原来的三个数依次为,a,aq.∵·a·aq＝512,∴a＝8.又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列,∴＋（aq－2）＝2a, ∴2q2－5q＋2＝0,∴q＝2或q＝,∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28,∴原来的三个数的和等于28. 答案　28 12．若互不相等的实数a，b，c构成等差数列，且a是b与c的等比中项，a＋3b＋c＝10，则a＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析　由互不相等的实数a，b，c构成等差数列，得2b＝a＋c.因为a＋3b＋c＝10，所以5b＝10，即b＝2，a＋c＝4.又a是b与c的等比中项，所以a2＝bc，即a2＝2c.将c＝4－a代入，得a＝－4或a＝2(舍去).故选D. 答案　D 13．(河南南阳六校高二期中)已知正项等比数列{an}满足条件a2·a16＝16，＝. (1)求{an}的通项公式； (2)设Tn＝a1a2…an，求Tn的最大值． 解　(1)设{an}的公比为q(q＞0). 由题意得a＝a2a16＝16，所以a9＝a1q8＝4，＝＝q3＝， 所以q＝，a1＝1 024， 所以an＝a1qn－1＝1 024×＝211－n. (2)Tn＝a1a2…an＝210＋9＋8＋…＋(11－n)＝2. 二次函数y＝＝－x2＋x的图象的对称轴为直线x＝， 故当n＝10或n＝11时，Tn取得最大值，且最大值为255. 14.在①a1＝2,a2＋a3＝14,②a1＋a2＝7,a3＝9,③a1＋a3＝11,a2＝5这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并解答问题. 已知等比数列{bn}的公比是q（q＞1）,bn＝an＋1－2n,且有　　　　（n∈N*）,求证：bn＝2n－1.  注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解　若选择①： a1＝2,a2＋a3＝14, 根据题意bn＝an＋1－2n, 则b1＝a1＋1－2＝1,b2＋b3＝a2－3＋a3－5＝6, ∴b2＋b3＝q＋q2＝6.又q＞1,解得q＝2, ∴bn＝2n－1. 若选择②： a1＋a2＝7,a3＝9, 根据题意bn＝an＋1－2n, 则b1＋b2＝a1－1＋a2－3＝3,b3＝a3－5＝4, ∴b1＋b2＝＋＝3.又q＞1,解得q＝2,∴b1＝1, ∴bn＝2n－1. 若选择③： a1＋a3＝11,a2＝5, 根据题意bn＝an＋1－2n, 则b2＝a2－3＝2,b1＋b3＝a1－1＋a3－5＝5, ∴b1＋b3＝＋2q＝5.又q＞1,解得q＝2,∴b1＝1, ∴bn＝2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$