(素能提升训练) 4.2.1 第2课时 等差数列的性质-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练四　等差数列的性质 [对应素能提升训练第7页] 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，则a11＋a12＋…＋a15＝(　　) A．110 B．120 C．130 D．140 解析　设公差为d，则(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝(a6－a1)＋(a7－a2)＋…＋(a10－a5)＝5d＋5d＋5d＋5d＋5d＝25d＝80－30＝50，所以d＝2，所以a11＋a12＋…＋a15＝(a6＋5d)＋(a7＋5d)＋…＋(a10＋5d)＝(a6＋a7＋…＋a10)＋25d＝80＋25×2＝130. 答案　C 2.已知等差数列{an}的公差为d（d≠0）,且a3＋a6＋a10＋a13＝32,若am＝8,则m等于 （　　） A.8 B.4 C.6 D.12 解析　因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32,所以a8＝8,即m＝8. 答案　A 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 （　　） A.1升 B.升 C.升 D.升 解析　设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5＝a1＋4d＝,故第5节的容积为升. 答案　B 4.（多选）若{an}是等差数列,下列数列中仍为等差数列的是 （　　） A.{｜an｜} B.{an＋1－an} C.{pan＋q}（p,q为常数） D.{2an＋n} 解析　数列－1,1,3是等差数列,取绝对值后：1,1,3不是等差数列,A不成立.若{an}是等差数列,利用等差数列的定义,{an＋1－an}为常数列,故是等差数列,B成立.若{an}的公差为d,则（pan＋q）－（p＋q）＝p（an－an－1）＝pd为常数,故{pan＋q}是等差数列,C成立.（2an＋n）－（2an－1＋n－1）＝2（an－an－1）＋1＝2d＋1,故{2an＋n}是等差数列,D成立.故选BCD. 答案　BCD 5.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为　　　　.  解析　设这三个数为a－d,a,a＋d, 则 解得或 所以这三个数为－1,3,7或7,3,－1. 所以这三个数的积为－21. 答案　－21 6．已知数列{an}是等差数列．若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77，且ak＝13，则k＝________. 解析　设数列{an}的公差为d，因为a4＋a7＋a10＝3a7＝17，所以a7＝.因为a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝11a9＝77，所以a9＝7，所以d＝，所以ak－a9＝(k－9)d，即13－7＝(k－9)×，解得k＝18. 答案　18 7．(1)已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这个等差数列． (2)已知等差数列{an}是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式． 解　(1)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 则 又该数列是递增数列，所以d＞0，所以a＝±，d＝， 所以此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. (2)设等差数列{an}的公差为d， 则其前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d， 则 解得或 因为数列{an}为递增数列，所以 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1. 8．(福建福州延安中学段考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，且a6＋2a7＋a10＝20，则a7a8的最大值为(　　) A．10 B．20 C．25 D．50 解析　∵a6＋2a7＋a10＝(a6＋a10)＋2a7＝2a8＋2a7＝20，∴a7＋a8＝10.又∵a7＞0，a8＞0，∴a7a8≤＝＝25，当且仅当a7＝a8＝5时，等号成立．故选C. 答案　C 9.若方程（x2－2x＋m）（x2－2x＋n）＝0的四个根组成一个首项为的等差数列,则｜m－n｜＝ （　　） A.1 B. C. D. 解析　设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列,则a1＋a4＝a2＋a3＝2,再设此等差数列的公差为d,则2a1＋3d＝2,∵a1＝,∴d＝,∴a2＝＋＝,a3＝＋1＝,a4＝＋＝,∴｜m－n｜＝｜a1a4－a2a3｜＝＝. 答案　C 10．(江苏沭阳建陵高级中学期中)南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同．在这些高阶等差数列中，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为(　　) A．161 B．155 C．141 D．139 解析　设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图： 由图可得解得故选B. 答案　B 11.在等差数列{an}中,a5＋a6＝4,则log2（··…·）＝　　　　.  解析　在等差数列{an}中,a5＋a6＝4,所以a1＋a10＝a2＋a9＝a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6＝4,所以a1＋a2＋…＋a10＝（a1＋a10）＋（a2＋a9）＋（a3＋a8）＋（a4＋a7）＋（a5＋a6）＝5（a5＋a6）＝20,则log2（··…·）＝log2＝a1＋a2＋…＋a10＝20. 答案　20 12．若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 020＝20 200，则b2b2 019的最大值是________. 解析　由数列为“调和数列”可得－＝bn＋1－bn＝d(n∈N*，d为常数)， ∴数列{bn}是公差为d的等差数列． ∵b1＋b2＋…＋b2 020＝20 200，且b1＋b2 020＝b2＋b2 019＝b3＋b2 018＝…＝b1 010＋b1 011， ∴1 010(b2＋b2 019)＝20 200，∴b2＋b2 019＝20. 又b2＞0，b2 019＞0， ∴b2＋b2 019≥2， 即b2b2 019≤＝100， 当且仅当b2＝b2 019＝10时取等号， ∴(b2b2 019)max＝100. 答案　100 13.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项？ 解　设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn},c1＝11, 又等差数列5,8,11,…的通项公式为an＝3n＋2, 等差数列3,7,11,…的通项公式为bn＝4n－1. 所以数列{cn}为等差数列,而已知的两个数列的公差分别为3和4,所以{cn}的公差d＝3×4＝12, ① 所以cn＝11＋（n－1）×12＝12n－1. 又a100＝302,b100＝399,cn＝12n－1≤302, ② 得n≤25,可见已知两数列共有25个相同的项. 14.有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少. 解　设单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列.设该数列为{an}. an＝780＋（n－1）（－20）＝800－20n, 解不等式an≥440,即800－20n≥440,得n≤18. 当购买台数小于等于18台时,每台售价为（800－20n）元,当台数大于18台时,每台售价为440元. 到乙商场购买,每台售价为800×75%＝600元. 作差：（800－20n）n－600n＝20n（10－n）, 当n＜10时,600n＜（800－20n）n, 当n＝10时,600n＝（800－20n）n, 当10＜n≤18时,（800－20n）n＜600n, 当n＞18时,440n＜600n. 即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少. 学科网（北京）股份有限公司 $$