(素能提升训练) 4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练三　等差数列的概念及通项公式 [对应素能提升训练第5页] 1．(浙江钱塘联盟高二期中)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则a4＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　因为数列{an}满足an＋1－an＝2，所以数列{an}为等差数列，且公差为2.又a1＝－5，所以a4＝－5＋(4－1)×2＝1. 答案　C 2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是 （　　） A.2 B.3 C.6 D.9 解析　由题意得,∴m＋n＝6,∴m,n的等差中项为3. 答案　B 3．67是等差数列3，11，19，27，…的第(　　) A．6项 B．7项 C．8项 D．9项 解析　由已知可得等差数列{an}的首项为a1＝3，公差d＝11－3＝8，所以通项公式an＝3＋8(n－1)＝8n－5.由an＝67可得8n－5＝67，解得n＝9.故选D. 答案　D 4．(黑龙江大庆铁人中学高二期中)已知数列{an}为等差数列，且满足a100＝2 023，a2 023＝100，则a2 123的值为(　　) A．2 033 B．2 123 C．123 D．0 解析　设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝－1，所以a2 123＝a100＋(2 123－100)d＝2 023－2 023＝0.故选D. 答案　D 5．已知a＞0，b＞0，并且，，成等差数列，则a＋9b的最小值为________. 解析　由等差中项的定义可得＋＝1，故a＋9b＝(a＋9b)·＝1＋＋＋9≥10＋2＝16. 答案　16 6.在等差数列{an}中,a3＝7,a5＝a2＋6,则a6＝　　　　.  解析　设等差数列{an}的公差为d, 由题意,得解得 ∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋（n－1）×2＝2n＋1. ∴a6＝2×6＋1＝13. 答案　13 7．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，bn＝. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1)证明：∵(an＋1－1)(an－1)＝3， ∴－＝，即bn＋1－bn＝. 又∵a1＝2，∴b1＝1，∴{bn}是以1为首项，为公差的等差数列． (2)由(1)得bn＝1＋(n－1)＝， ∴an－1＝，∴an＝. 8．在等差数列{an}中，a1＝5，a4＋a7＝0，则数列{an}中为正数的项的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析　设数列{an}的公差为d.∵在等差数列{an}中，a1＝5，a4＋a7＝0，∴5＋3d＋5＋6d＝0，解得d＝－，∴an＝5－(n－1)＝－n＋.由an＝－n＋＞0可得n＜，则数列{an}中为正数的项的个数为5.故选B. 答案　B 9．(江苏南通调考)某同学研究下列数表时，发现其特点是每行每列都成等差数列，在表中，数41出现的次数为(　　) 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … … … … … … … … A.8 B．9 C．10 D．11 解析　第i行第j列的数为aij，则{a1j}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a1j＝2＋(j－1)×1＝1＋j，所以{aij}是以j＋1为首项，j为公差的等差数列，所以aij＝j＋1＋(i－1)j＝ij＋1.令ij＋1＝41，得ij＝40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8＝8×5＝10×4＝20×2＝40×1，所以41共出现了8次．故选A. 答案　A 10.（多选）在数列{an}中,若－＝p（n≥2,n∈N*,p为常数）,则称{an}为等方差数列,下列对等方差数列的判断正确的有 （　　） A.若{an}是等方差数列,则{}是等差数列 B.数列{（－1）n}是等方差数列 C.若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,则数列{an}一定是常数列 D.若数列{an}是等方差数列,则数列{akn}（k∈N*,k为常数）也是等方差数列 解析　根据等方差数列的定义易知A正确；因为（－1）2n－（－1）2（n－1）＝0,所以数列 {（－1）n}是等方差数列,B正确；若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,设公差为d,则－＝（an－an－1）（an＋an－1）＝d[2a1＋（2n－3）d]＝2a1d＋（2n－3）d2＝p.又p为常数,所以d＝0,C正确；若数列{an}是等方差数列,则－＝p,－＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝kp为常数,D正确. 答案　ABCD 11.数列{an}是等差数列,且an＝an2＋n,则实数a＝　　　　.  解析　∵{an}是等差数列,∴an＋1－an＝常数.∴[a（n＋1）2＋（n＋1）]－（an2＋n）＝2an＋a＋1＝常数.∴2a＝0,∴a＝0. 答案　0 12．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列是等差数列，则a11＝________. 解析　令bn＝，由题设，知b3＝＝，b7＝＝，且{bn}为等差数列．设{bn}的公差为d，则所以所以b11＝b1＋10d＝.又b11＝，所以a11＝. 答案　 13.已知,,成等差数列,并且a＋c,a－c,a＋c－2b均为正数,求证：lg（a＋c）,lg（a－c）,lg（a＋c－2b）也成等差数列. 证明：∵,,成等差数列,∴＝＋, ∴＝,即2ac＝b（a＋c）. （a＋c）（a＋c－2b）＝（a＋c）2－2b（a＋c）＝（a＋c）2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝（a－c）2. ∵a＋c,a＋c－2b,a－c均为正数,上式左右两边同时取对数得,lg[（a＋c）（a＋c－2b）]＝lg（a－c）2, 即lg（a＋c）＋lg（a＋c－2b）＝2lg（a－c）, ∴lg（a＋c）,lg（a－c）,lg（a＋c－2b）成等差数列. 14.数列{an}满足a1＝1,an＋1＝（n2＋n－λ）an（n＝1,2, … ）,λ是常数. （1）当a2＝－1时,求λ及a3的值； （2）是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在,求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在,请说明理由. 解　（1）由于an＋1＝（n2＋n－λ）an（n＝1,2,…）, 且a1＝1. 所以当a2＝－1时,得－1＝2－λ,故λ＝3. 从而a3＝（22＋2－3）×（－1）＝－3. （2）数列 {an}不可能为等差数列,理由如下： 由a1＝1,an＋1＝（n2＋n－λ）an, 得a2＝2－λ,a3＝（6－λ）（2－λ）, a4＝（12－λ）（6－λ）（2－λ）. 若存在λ,使{an}为等差数列,则a3－a2＝a2－a1, 即（5－λ）（2－λ）＝1－λ,∴λ2－6λ＋9＝0, 解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2, a4－a3＝（11－λ）（6－λ）（2－λ）＝－24. 这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在λ使{an}是等差数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$