(素能提升训练) 4.1 第2课时 数列的递推公式与数列的前n项和-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练二　数列的递推公式与数列的前n项和 [对应素能提升训练第3页] 1．(湖北荆门期中)数列{an}的构成法则如下：a1＝1，若an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝(　　) A．7 B．3 C．15 D．81 解析　由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3.又a2－2＝1＝a1，所以a3＝3a2＝9.又a3－2＝7∈N，所以a4＝a3－2＝7.又a4－2＝5∈N，所以a5＝a4－2＝5.又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C. 答案　C 2.（多选）已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n,那么 （　　） A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 解析　分别令2n2－n的值为30,45,66,90,可知只有当2n2－n＝45时,n＝5；当2n2－n＝66时,n＝6,故45,66是数列{an}的一项. 答案　BC 3．(中国人民大学附属中学高二期中)已知数列{an}的首项为2，满足an＋1＝，则a2 023＝(　　) A．2 B．－3 C． D．－ 解析　因为a1＝2，所以a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝－3，a5＝＝2，…故数列{an}的周期为4，a2 023＝a505×4＋3＝a3＝－. 答案　D 4.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn＝3an－3,则a4＝ （　　） A.27 B.81 C.93 D.243 解析　根据2Sn＝3an－3,可得2Sn＋1＝3an＋1－3,两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an,即an＋1＝3an.当n＝1时,2S1＝3a1－3,解得a1＝3,则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81. 答案　B 5．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－4，则a6＝________，an＝________. 解析　由题意得a2＝a1＋a1＝－4，则a1＝－2，而a3＝a2＋a1＝－6，所以a6＝a3＋a3＝ －12，…可知an＝－2n. 答案　－12　－2n 6.数列{an}的前n项和为Sn,若Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2）,且S2＝3,则a1＋a3的值为　　　　.  解析　∵Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2）,令n＝2,得S2＋S1＝3,由S2＝3得a1＝S1＝0,令n＝3,得S3＋S2＝5,所以S3＝2,则a3＝S3－S2＝－1,所以a1＋a3＝0＋（－1）＝－1. 答案　－1 7.（梅州高二期末）在各项均为正数的数列{an}中,a1＝a且an＋1＝＋. （1）当a3＝2时,求a1与a4的值； （2）求证：当n≥2时,an＋1≤an. 解　（1）∵a3＝2,∴a3＝＋＝2, ∴＋4＝4a2,解得a2＝2. 又a2＝＋,∴＋＝2,∴＋4＝4a1,解得a1＝2. ∵a4＝＋,a3＝2,∴a4＝2. （2）证明：要证当n≥2时,an＋1≤an,只需证≤1, 即证＋≤1,即证＋≤1, 即证≥4,即证an≥2. ∵an＝＋≥2＝2（当且仅当an－1＝2时,等号成立）, ∴当n≥2时,an＋1≤an. 8．(多选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－(n∈N*)，下列选项中能使an＝3的n为(　　) A．17 B．16 C．8 D．7 解析　由a1＝3，an＋1＝－，得a2＝－，a3＝－，a4＝3，所以数列{an}是以3为周期的数列，所以a7＝a16＝a1＝3.故选BD. 答案　BD 9．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，则an＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为an＋1＝an＋，所以an＋1－an＝＝－，则当n≥2，n∈N*时，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－，将这(n－1)个式子左、右两边分别相加可得an－a1＝1－＋－＋…＋－＝1－.因为a1＝，所以an＝1－＋＝－，当n＝1时，a1＝符合该式，所以an＝－，n∈N*.故选B. 答案　B 10．(天津西青期末)如图，第1个图案的总点数记为a1，第2个图案的总点数记为a2，第3个图案的总点数记为a3，…依此类推，第n个图案的总点数记为an，则＋＋＋…＋＝(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析　由题图得a1＝1，a2＝3＝3×(2－1)，a3＝6＝3×(3－1)，a4＝9＝3×(4－1)，a5＝12＝3×(5－1)，… ∴当n＞1，n∈N*时，an＝3(n－1)＝3n－3. 又当n＞1，n∈N*时，＝＝＝－， ∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.故选A. 答案　A 11.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1,则数列{an}的通项公式是　　　　　　　　.  解析　当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝（2n2－3n＋1）－[2（n－1）2－3（n－1）＋1]＝4n－5； 当n＝1时,a1＝S1＝0不适合上式, ∴an＝ 答案　an＝ 12．(四川宜宾开学考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，若∀n∈N*，λan≤4＋S2n恒成立，则实数λ的最大值是________. 解析　当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n， 当n＝1时，an＝2n成立，∴an＝2n＞0. ∵Sn＝2n＋1－2，∴S2n＝22n＋1－2. ∵∀n∈N*，λan≤4＋S2n恒成立， ∴λ≤＝＝2恒成立， 易知当n＝1时，2有最小值，最小值为5， ∴λ≤5. 故实数λ的最大值是5. 答案　5 13.（烟台高二期末）已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝（n＋1）an（n∈N*）,且a1＝2.求数列{an}的通项公式. 解　因为2Sn＝（n＋1）an,n∈N*, 所以2Sn＋1＝（n＋2）an＋1,n∈N*, 两式相减得2an＋1＝（n＋2）an＋1－（n＋1）an, 整理得nan＋1＝（n＋1）an,即＝,n∈N*, 所以为常数列.所以＝＝2,所以an＝2n. 14.（1）对于任意数列{an},等式：a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝an（n≥2,n∈N*）都成立.试根据这一结论,完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1,an＋1－an＝2,n∈N*,求通项an； （2）若数列{an}中各项均不为零,则有a1···…·＝an（n≥2,n∈N*）成立.试根据这一结论,完成问题： 已知数列{an}满足：a1＝1,＝（n≥2,n∈N*）,求通项an. 解　（1）当n≥2时, an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1） ＝1＋＝2（n－1）＋1＝2n－1. a1＝1也符合上式,所以数列{an}的通项公式是 an＝2n－1,n∈N*. （2）当n≥2时,an＝a1···…·＝1×××…×＝. a1＝1也符合上式, 所以数列{an}的通项公式是an＝,n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $$