(素能提升训练) 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示法-【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

训练一　数列的概念与简单表示法 [对应素能提升训练第1页] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为(　　) A．1，0，1，0 B．0，1，0，1 C．，0，，0 D．2，0，2，0 解析　由an＝，可得a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.故选A. 答案　A 2．已知数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)n·2n＋a，且a3＝－5，则实数a＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．0 解析　因为a3＝－5，an＝(－1)n·2n＋a，所以－8＋a＝－5，解得a＝3.故选A. 答案　A 3．(广东深圳中学高二期中)某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死亡1个，2小时后分裂成6个并死亡1个，3小时后分裂成10个并死亡1个，……按照此规律，12小时后细胞的存活个数为(　　) A．2 048 B．2 049 C．4 096 D．4 097 解析　依题意，1小时后细胞的存活个数为3＝21＋1，2小时后细胞的存活个数为5＝22＋1，3小时后细胞的存活个数为9＝23＋1，…则n(n∈N*)小时后细胞的存活个数为2n＋1，所以12小时后细胞的存活个数为212＋1＝4 097. 答案　D 4.已知递减数列{an}中,an＝kn（k为常数）,则实数k的取值范围是 （　　） A.R B.（0,＋∞） C.（－∞,0） D.（－∞,0] 解析　an＋1－an＝k（n＋1）－kn＝k＜0. 答案　C 5.已知数列{an}的通项公式an＝19－2n,则使an＞0成立的最大正整数n的值为　　　　.  解析　由an＝19－2n＞0,得n＜.∵n∈N*,∴n≤9. 答案　9 6.数列{an}的通项公式an＝,则－3是此数列的第　　　　项.  解析　令＝－3,即－＝－3,∴n＝9. 答案　9 7．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)－，，－，，…； (2)，1，，，…； (3)0.8，0.88，0.888，…； (4)2，6，12，20，30，…. 解　(1)所给数列可写成(－1)1×，(－1)2×，(－1)3×，(－1)4×，… 所以原数列的一个通项公式为an＝(－1)n×＝. (2)所给数列可写成，，，，… 所以原数列的一个通项公式为an＝. (3)所给数列可写成×，×，×，… 所以原数列的一个通项公式为an＝. (4)所给数列可写成1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，… 所以原数列的一个通项公式为an＝n(n＋1). 8．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　) A．数列的第k项为1＋ B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1 D．数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}是递增数列 解析　对于A，数列的第k项为＝1＋，A正确；对于B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；对于C，将3，5，9，17，33，…的各项均减去1，得2，4，8，16，32，…设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1，C错误；对于D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝＞0，因此数列{an}是递增数列，D正确．故选ABD. 答案　ABD 9.（多选）一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3,下列可以作为其通项公式的是 （　　） A.an＝n B.an＝n3－6n2－12n－6 C.an＝n2－n＋1 D.an＝ 解析　对于A,若an＝n,则a1＝1,a2＝2,a3＝3,符合题意；对于B,若an＝n3－6n2－12n＋6,则a1＝－11,不符合题意；对于C,若an＝n2－n＋1,当n＝3时,a3＝4≠3,不符合题意；对于D,若an＝,则a1＝1,a2＝2,a3＝3,符合题意.故选AD. 答案　AD 10．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}的通项公式，其中满足{an}是“差递减数列”的是(　　) A．an＝3n　　　　 B．an＝n2＋1 C．an＝ D．an＝ln 解析　对于A，an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以数列{an＋1－an}是常数列，故A错误；对于B，an＝n2＋1，则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以数列{an＋1－an}是递增数列，故B错误；对于C，若an＝，则an＋1－an＝－＝，所以数列{an＋1－an}是递减数列，故C正确；对于D，an＝ln ，则an＋1－an＝ln －ln ＝ln ＝ln ，由于函数y＝ln 在(0，＋∞)上单调递减，所以数列{an＋1－an}是递减数列，故D正确． 答案　CD 11.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n,则a2n＝　　　　,＝　　　　.  解析　根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项.∵an＝3－2n,∴a2n＝3－22n＝3－4n,＝＝. 答案　3－4n　 12．(湖南长沙高二期中)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n＋6，则数列{an}从第________项起各项均为正数． 解析　令an＞0，即n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍去)，所以数列{an}从第7项起各项均为正数． 答案　7 13.在数列{an}中,an＝n（n－8）－20,请回答下列问题： （1）这个数列共有几项为负？ （2）这个数列从第几项开始递增？ （3）这个数列中有无最小值？若有,求出最小值；若无,请说明理由. 解　（1）因为an＝n（n－8）－20＝（n＋2）（n－10）, 所以当0＜n＜10时,an＜0, 所以数列{an}共有9项为负. （2）因为an＋1－an＝2n－7,所以当an＋1－an＞0时, n＞,故从第4项开始数列{an}递增. （3）an＝n（n－8）－20＝（n－4）2－36, 根据二次函数的性质知,当n＝4时,an取得最小值－36, 即数列中有最小值,最小值为－36. 14.已知数列{an}的通项公式是an＝. （1）判断是不是数列{an}中的项； （2）试判断数列{an}中的项是否都在区间（0,1）内； （3）在区间内有没有数列{an}中的项？若有,是第几项；若没有,请说明理由. 解　（1）∵an＝＝＝, ∴由an＝＝,解得n＝, ∵不是正整数,∴不是数列{an}中的项. （2）∵an＝＝＝1－,n∈N*,0＜＜1, ∴0＜an＜1,∴数列{an}中的项都在区间（0,1）内. （3）令＜an＜,即＜＜, 则解得＜n＜. 又n∈N*,∴n＝2. 故在区间内有数列{an}中的项,且只有一项,是第二项,a2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$