第5章 专题4 利用导数研究不等式问题(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第五章 一元函数的导数及其 应用 学升 专题4 利用导数研究不等式问题 学升 17 第五章,一元函数的导数及其应用 题型一 利用导数解决不等式的证明问题 1. 已知函数f(x)一ax一e(e为自然对数的底数) (1)当a-1 时,求函数f(x)的单调区间及极值 2 (2)当2<a<e十2时,求证:f(x)<2x 学升 7 第五章 一元函数的导数及其应用 (1)当-时.(x)一0#x-#. 解 $/'()=1-=0.得x=-1. 当x<-1时。f(x)>0; 当x>-1时,f(x)<0 所以函数f(x)的单调递增区间为(一,一1); 单调递减区间为(一1十*) 所以当x三一1时,函数f(x)有极大值,为一 没有极小值 学升 17 第五章 一元函数的导数及其应用 (2)证明:当x=0时,f(x)=-1.-1<0恒成立; 当x<0时,ax-e-2x=(a-2x-e. 因为2<a<e十2,所以a-20 所以(a-2)x<0而-*<0 所以(a-2)x-e<0,所以f(x)<2x; ##(y-1) 当x>1时,g(x)<0; 学升 7 第五章 一元函数的导数及其应用 当0<x<1时,g'(x)>0 所以g(x)max=g(1)-a-e 因为2<a<e+2 所以a-e<2. 所以g(x)<2恒成立,所以ax-e<2x 综上所述.f(x)<2x 学升 17 第五章,一元函数的导数及其应用 2. 新课标全国I卷)已知函数fx)一ae+a)-x (1)讨论f(x)的单调性 (2)证明:当a>0时,f(x)>2lna+3 学升 7 第五章,一元函数的导数及其应用 解 (1)因为f(x)三a(e+a)一x.定义域为B 所以f(x)=ae*-1. 当a<0时,由于e>0 则ae<0 故f'(x)=ae*-1<0恒成立 所以f(x)在R上单调递减 学升 17 第五章一元函数的导数及其应用 当a>0时,命f'(x)=ae-1=0.解得x=-lna, 当x<一lna时,f'(x)<0.则f(x)在(一o,-lna)上单调递减; 当x>一lna时,f'(x)>0,则f(x)在(一lna,+o)上单调递 综上,当a<0时,f(x)在R上单调递减; 当a>0时,f(x)在(一o,一lna)上单调递减,f(x)在(一lna,+)上单调递增 学t 第五章 一元函数的导数及其应用 (2)证明:由(1)得f(x)min=f(一lna)=a(e -lna+a)+lna=1+a2+lna, 即证1+a2+ìna>2lna+2 令g(a)=a--1n a), 学升 17