5.2.3 简单复合函数的导数(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.3　简单复合函数的导数 [学习任务] 1.了解复合函数的概念.（难点） 2.掌握复合函数的求导法则.（重点） 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.（重点、难点） 5.2.3　简单复合函数的导数 [对应学生用书第58页] 知识点　简单复合函数的导数 1.复合函数的概念：一般地,对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x）,如果通过中间变量u,y可以表示成  　x的函数　⁠,那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数,记作 　y＝f（g（x））　⁠. x的函数 y＝f（g（x）） 5.2.3　简单复合函数的导数 2.复合函数的求导法则：一般地,对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝ f（g（x））,它的导数与函数y＝f（u）,u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝ 　y'u·u'x　⁠,即y对x的导数等于 　y对u的导数与u对x的导数的乘积　⁠. y'u·u'x y对u的导数与u对x的导数的乘积 5.2.3　简单复合函数的导数 [对应学生用书第58页] 探究一　求复合函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. （1）y＝； 5.2.3　简单复合函数的导数 [解]　（1）y＝（1－2x, 设y＝,u＝1－2x, 则yx'＝yu'ux'＝（）'（1－2x）' ＝（－2）＝（1－2x. 5.2.3　简单复合函数的导数 （2）y＝log2（2x＋1）； [解]　（2）设y＝log2u,u＝2x＋1, 则yx'＝yu'ux'＝（log2u）'（2x＋1）' ＝·2＝. （3）y＝e3x＋2； [解]　（3）设y＝eu,u＝3x＋2, 则yx'＝y'uu'x＝（eu）'（3x＋2）'＝3eu＝3e3x＋2. 5.2.3　简单复合函数的导数 （4）y＝sin. [解]　（4）设y＝sinu,u＝2x＋, 则yx'＝yu'ux'＝（sinu）'' ＝cosu·2＝2cos. 5.2.3　简单复合函数的导数 　　（1）求复合函数的导数的步骤 5.2.3　简单复合函数的导数 ②求导时分清是对哪个变量求导； ③计算结果尽量简洁. （2）求复合函数的导数的注意点： ①分解的函数通常为基本初等函数； 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 探究二　复合函数求导法则与导数四则运算法则的综合应用 [例2]　（1）已知f（x）＝,则f'＝（　　） A.－2－ln 2 B.－2＋ln 2 C.2－ln 2 D.2＋ln 2 5.2.3　简单复合函数的导数 （2）函数y＝cos 2x＋sin 的导数为（　　） A.－2sin 2x＋ B.2sin 2x＋ C.－2sin 2x＋ D.2sin 2x－ 5.2.3　简单复合函数的导数 [解析]　（1）方法一：依题意有 f'（x）＝ ＝, 故f'＝＝2＋ln2. 5.2.3　简单复合函数的导数 方法二：∵f（x）＝＝·, ∴f'（x）＝·, ∴f'＝·＝2＋ln2. 5.2.3　简单复合函数的导数 （2）y'＝（cos2x）'＋（sin）'＝－2sin2x＋cos. [答案]　（1）D　 （2）A 5.2.3　简单复合函数的导数 解决复合函数求导法则与四则运算 法则综合应用问题的关键点 解决复合函数求导法则与四则运算法则综合应用问题时,首先要熟记复合函数求导法则y'x＝y'u·u'x和导数的四则运算法则[f（x）±g（x）]'＝f'（x）±g'（x）,[f（x） g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）,'＝（g（x）≠0）,其次要细心运算,避免运算失误. 5.2.3　简单复合函数的导数 2.求下列函数的导数. （1）y＝； 解　（1）∵（ln（3x））'＝×（3x）'＝, ∴y'＝ ＝＝. 5.2.3　简单复合函数的导数 （2）y＝x； 解　（2）y'＝（x）' ＝x'＋x（）' ＝＋ ＝. 5.2.3　简单复合函数的导数 解　（3）∵y＝xcossin ＝x（－sin2x）cos2x＝－xsin4x, ∴y'＝' ＝－sin4x－cos4x×4 ＝－sin4x－2xcos4x. （3）y＝xcossin. 5.2.3　简单复合函数的导数 探究三　应用复合函数求导法则解决切线问题 [例3]　（1）已知直线y＝x＋2与曲线y＝ln（x＋a）相切,则a＝ 　　　　⁠.  [解析]　（1）设切点为（x0,y0）,由曲线的方程为y＝ln（x＋a）可得y'＝,所以＝1.由y0＝x0＋2,y0＝ln（x0＋a）,得y0＝0,x0＝－2,a＝3. （2）函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1,f（1））处的切线的倾斜角为 （　　） A.0 B. C. D. ⁠ 5.2.3　简单复合函数的导数 [解析]　（2）∵f'（x）＝,∴函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1,f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝＝1.设函数f（x）＝ln（x2＋1）的图象在点（1,f（1））处的切线的倾斜角为θ,则tanθ＝1,∴θ＝. [答案]　（1）3　 （2）D 5.2.3　简单复合函数的导数 求曲线y＝f（x）在点P（x0,y0）处的切线方程的步骤 （1）求函数y＝f（x）在x＝x0处的导数,即求曲线y＝f（x）在点P（x0,f（x0））处切线的斜率. （2）求切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0）,即y＝f'（x0）（x－x0）＋y0. 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 导函数的奇偶性及周期性探究 1.若f（x）＝xα（α∈R,且α≠0）,则f'（x）＝αxα－1, 如f（x）＝x3,f'（x）＝3x2,g（x）＝x4,g'（x）＝4x3. 2.若f（x）＝sin x,则f'（x）＝cos x. 3.若f（x）＝cos x,则f'（x）＝－sin x. 5.2.3　简单复合函数的导数 　由上述导数公式可以归纳猜想以下命题成立. （1）奇函数的导数是偶函数； [证明]　（1）设f（x）是可导的奇函数, 则有f（－x）＝－f（x）,两边对x求导,得 f'（－x）·（－x）'＝－f'（x）, 即－f'（－x）＝－f'（x）,f'（－x）＝f'（x）, 从而f'（x）为偶函数,故原命题成立. 5.2.3　简单复合函数的导数 （2）偶函数的导数是奇函数； [证明]　（2）设f（x）是可导的偶函数,则f（－x）＝f（x）, 两边对x求导,得f'（－x）×（－x）'＝f'（x）, 即－f'（－x）＝f'（x）,从而f'（x）是奇函数,故原命题成立. 5.2.3　简单复合函数的导数 （3）周期函数的导数还是周期函数. [证明]　（3）设f（x）为可导的周期函数,T为f（x）的一个周期, 则对定义域内的每一个x,都有f（x＋T）＝f（x）, 两边同时对x求导得f'（x＋T）（x＋T）'＝f'（x）,即f'（x＋T）＝f'（x）,从而f'（x）也是以T为周期的周期函数,故原命题成立. 5.2.3　简单复合函数的导数 [拓展1]　可导函数y＝f（x）的图象关于点（a,f（a））中心对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. [证明]　必要性： 由函数y＝f（x）的图象关于点（a,f（a））中心对称, 得f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）, 于是[f（x）＋f（2a－x）]'＝[2f（a）]', 又[f（2a－x）]'＝f'（2a－x）×（－1）＝－f'（2a－x）, 因此f'（x）－f'（2a－x）＝0,即f'（x）＝f'（2a－x）. 所以导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称. 5.2.3　简单复合函数的导数 充分性： 导函数y＝f'（x）的图象关于直线x＝a对称, 则f'（x）＝f'（2a－x）, 即[f（x）＋f（2a－x）]'＝0, 于是f（x）＋f（2a－x）＝C（C为常数）. 令x＝a,则有2f（a）＝C.所以f（x）＋f（2a－x）＝2f（a）. 因此可导函数y＝f（x）的图象关于点（a,f（a））中心对称. 5.2.3　简单复合函数的导数 [拓展2]　函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是导函数y＝f'（x）的图象关于点（a,0）中心对称. [证明]　必要性：函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称,则f（x）＝f（2a－x）, 于是f'（x）＝[f（2a－x）]',故f'（x）＝－f'（2a－x）, 即f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 因此导函数y＝f'（x）的图象关于点（a,0）中心对称. 5.2.3　简单复合函数的导数 充分性：导函数＝f'（x）的图象关于点（a,0）中心对称, 则f'（x）＋f'（2a－x）＝0. 即[f（x）－f（2a－x）]'＝0, 因此f（x）－f（2a－x）＝C（C为常数）. 令x＝a,得C＝0.所以f（x）＝f（2a－x）. 故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 5.2.3　简单复合函数的导数 [对应学生用书第60页] 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 2.函数y＝x2cos的导数为（　　） A.y'＝2xcos－x2sin B.y'＝2xcos－2x2sin C.y'＝x2cos－2xsin D.y'＝2xcos＋2x2sin 5.2.3　简单复合函数的导数 解析　y'＝（x2）'cos＋x2'＝2xcos＋x2' ＝2xcos－2x2sin. 答案　B 5.2.3　简单复合函数的导数 第五章 一元函数的导数及其应用 4.求下列函数的导数： （1）y＝（2x－1）4； 解　（1）令u＝2x－1,则y＝u4, ∴y'x＝y'u·u'x＝4u3·（2x－1）'＝4u3×2＝8（2x－1）3. （2）y＝1； 解　（2）令u＝2x＋3,则y＝10u, ∴y'x＝y'u·u'x＝10u·ln 10·（2x＋3）'＝2ln 10·102x＋3. 5.2.3　简单复合函数的导数 （3）y＝sin4x＋cos4x. 解　（3）y＝sin4x＋cos4x ＝（sin2x＋cos2x）2－2sin2xcos2x ＝1－sin22x＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x. 所以y'＝'＝－sin4x. 5.2.3　简单复合函数的导数 1．求下列函数的导数． (1)y＝ eq \f(1,\r(1－2x2)) ；(2)y＝esin (ax＋b)； (3)y＝sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ；(4)y＝5log2(2x＋1). 解　(1)设 (2)设y＝eu，u＝sin v，v＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′v·v′x ＝eu·cos v·a＝a cos (ax＋b)·esin (ax＋b). (3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋ eq \f(π,3) ， 则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2＝4sin v cos v ＝2sin 2v＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(2π,3))) . (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(2x＋1)′＝ eq \f(10,u ln 2) ＝ eq \f(10,（2x＋1）ln 2) . 3．(1)(江西赣州九校质检)已知f(x)＝sin 2x＋tan x＋1，则曲线y＝f(x)在点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))))) 处的切线方程为(　　) A．2x＋y＋6－π＝0 B．2x－y＋3－π＝0 C．4x－2y＋6－π＝0 D．4x－2y＋6＋π＝0 (2)(山东枣庄三中月考)曲线y＝ 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． eq \f(9,2) e2 B．4e2 C．2e2 D．e2 解析　(1)f′(x)＝2cos 2x＋ eq \f(1,cos2x) ， ∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝2cos eq \f(π,2) ＋ eq \f(1,cos2 \f(π,4)) ＝2. 又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝sin eq \f(π,2) ＋tan eq \f(π,4) ＋1＝3， ∴所求切线方程为y－3＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))) ， 即4x－2y＋6－π＝0.故选C. (2)y′＝ ，故y′|x=4＝ eq \f(1,2) e2，故曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝ eq \f(1,2) e2(x－4). 当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝2， 故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 eq \f(1,2) ×2×e2＝e2.故选D. 答案　(1)C　(2)D 1．(北京第五十五中学高二调研)已知函数f(x)＝ eq \r(1－x) ，则f′(x)＝(　　) A．－ eq \f(1,2\r(1－x)) 　　　　 B． eq \f(1,2\r(1－x)) C．－2 eq \r(1－x) D．2 eq \r(1－x) 答案　A 解析　由f(x)＝ eq \r(1－x) ，得f′(x)＝ ＝ eq \f(1,2) ×(－1)＝ － eq \f(1,2\r(1－x)) .故选A. 3．已知函数f(x)＝xex-a，曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝________. 解析　由题得f′(x)＝(x＋1)ex－a，所以f′(a)＝a＋1＝3，解得a＝2，所以f(x)＝xex－2，得f(2)＝2×e2－2＝2，所以切点为(2，2)，将(2，2)的坐标代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2. 答案　－2 $$