5.2.2 导数的四则运算法则(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第五章　一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.2　导数的四则运算法则 [学习任务] 1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些公式求基本初等函数的导数.（重点） 2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数的导数.（难点） 5.2.2　导数的四则运算法则 [对应学生用书第55页] 知识点　导数的四则运算法则 　　设两个函数分别为f（x）和g（x）,则： 两个函数和的导数 [f（x）＋g（x）]'＝f'（x）＋g'（x） 两个函数差的导数 [f（x）－g（x）]'＝f'（x）－g'（x） 两个函数积的导数 [f（x）g（x）]'＝f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） 两个函数商的导数 ’＝__________________（g（x）≠0） f'（x）＋g'（x） f'（x）－g'（x） f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） 5.2.2　导数的四则运算法则 [对应学生用书第55页] 探究一　利用运算法则求函数的导数 [例1]　求下列函数的导数. （1）y＝（2x2－1）（3x＋1）； 5.2.2　导数的四则运算法则 [解]　（1）方法一：可以先展开后再求导 y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1, ∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝18x2＋4x－3. 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导 y'＝（2x2－1）'（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）'＝4x（3x＋1）＋3（2x2－1）＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3. 5.2.2　导数的四则运算法则 （2）y＝； [解]　（2）把函数的解析式整理变形可得 y＝＝＝1－, ∴y'＝－＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 （3）y＝3xex－2x＋e； [解]　（3）根据求导法则进行求导可得 y'＝（3xex）'－（2x）'＋e'＝（3x）'ex＋3x（ex）'－（2x）'＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝（3e）xln 3e－2xln 2. 5.2.2　导数的四则运算法则 （4）y＝. [解]　（4）利用除法的求导法则进行求导可得 y'＝ ＝ ＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 利用导数运算法则的策略 （1）分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式. （2）如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等. （3）利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导. 5.2.2　导数的四则运算法则 1.求下列各函数的导数. （1）y＝（＋1）； 解　（1）化简得y＝·－＋－1＝－＋, ∴y'＝－－＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 （2）y＝x－sin cos ； 解　（2）∵y＝x－sincos＝x－sinx, ∴y'＝'＝x'－（sinx）'＝1－cosx. （3）y＝. 解　（3）y'＝＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 探究二　与切线有关的综合问题 [例2]　（1）函数y＝3sin x在x＝处的切线斜率为 　　　　⁠.  [解析]　（1）由函数y＝3sinx,得y'＝3cosx,所以函数在x＝处的切线斜率为3×cos＝. ⁠ 5.2.2　导数的四则运算法则 （2）已知函数f（x）＝ax2＋ln x的导数为f'（x）. ①求f（1）＋f'（1）； ②若曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围. [解析]　（2）①由题意,函数的定义域为（0,＋∞）, 由f（x）＝ax2＋lnx,得f'（x）＝2ax＋, 所以f（1）＋f'（1）＝3a＋1. 5.2.2　导数的四则运算法则 ②因为曲线y＝f（x）存在垂直于y轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为在x∈（0,＋∞）内导函数f'（x）＝2ax＋存在零点, 即f'（x）＝0,所以2ax＋＝0有正实数解, 即2ax2＝－1有正实数解,故有a＜0,所以实数a的取值范围是（－∞,0）. [答案]　（1）　（2）见解析 5.2.2　导数的四则运算法则 关于函数导数的应用及其解决方法 （1）应用：求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用. （2）方法：先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用. 5.2.2　导数的四则运算法则 2.已知函数f（x）＝ax3－x2－x＋b（a,b∈R,a≠0）,g（x）＝ex,f（x）的图象在x＝ －处的切线方程为y＝x＋. （1）求a,b的值； 5.2.2　导数的四则运算法则 解　（1）f'（x）＝3ax2－2x－1. ∵f（x）的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋, ∴f'＝,即3a·＋1－1＝, 解得a＝1,又f（x）的图象过点, ∴－－＋b＝,解得b＝. 综上,a＝1,b＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 （2）直线y＝x＋是否与函数g（x）的图象相切？若相切,求出切点的坐标；若不相切,请说明理由. 解　（2）设直线y＝x＋与函数g（x）的图象相切于点A（x0,y0）. 5.2.2　导数的四则运算法则 ∵g'（x）＝ex, ∴g'（x0）＝＝,解得x0＝－, 将x0＝－代入g（x）＝ex, 得点A的坐标是, ∴切线方程为y－＝, 化简得y＝x＋, 故直线y＝x＋与函数g（x）的图象相切,切点坐标是. 5.2.2　导数的四则运算法则 探究三　利用函数的导数求参数 [例3]　已知函数f（x）＝的图象在点M（－1,f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0,求函数y＝f（x）的解析式. 5.2.2　导数的四则运算法则 [解]　由函数f（x）的图象在点M（－1,f（－1））处的切线方程为x＋2y＋5＝0,知－1＋2f（－1）＋5＝0, 即f（－1）＝－2,由切点为M得f'（－1）＝－. ∵f'（x）＝, ∴ 5.2.2　导数的四则运算法则 即 解得a＝2,b＝3或a＝－6,b＝－1（由b＋1≠0,故b＝－1舍去）. 所以所求的函数解析式为f（x）＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 利用导数求参数的常见题型 利用导数求参数,常涉及（1）已知曲线的切线（导数的几何意义）求参问题；（2）已知导函数的图象求原函数问题（或某点处的函数值）,这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程（组）求解参数.特别地由于三次函数的导数是二次函数,因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了.解题时应回顾二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数对图象的影响等. 5.2.2　导数的四则运算法则 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 错用求导公式致错 [典例]　求下列函数的导数. （1）f（x）＝a2＋2ax－x2； [错解]　（1）f'（x）＝（a2＋2ax－x2）'＝2a＋2x. 5.2.2　导数的四则运算法则 （2）f（x）＝. [错解]　（2）f'（x）＝'＝＝＝xsinx＋x2cosx. [正解]　（1）f'（x）＝（a2＋2ax－x2）'＝－2x＋2a. （2）f'（x）＝'＝ ＝. 5.2.2　导数的四则运算法则 　　（1）求导是对自变量的求导,要分清解析式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量. 　　（2）商的求导法则：分母平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘分母的积减去分母的导数乘分子的积.本题错解中错把分数的导数类同于分数的乘方运算导致错误. 5.2.2　导数的四则运算法则 [对应学生用书第57页] 5.2.2　导数的四则运算法则 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 第五章 一元函数的导数及其应用 4.求下列函数的导数. （1）y＝（x－2）（x2＋2x＋4）； 解　（1）方法一：y'＝（x－2）'（x2＋2x＋4）＋（x－2）（x2＋2x＋4）'＝x2＋2x＋4＋（x－2）（2x＋2）＝3x2. 方法二：∵y＝（x－2）（x2＋2x＋4）＝x3－8. ∴y'＝3x2. 5.2.2　导数的四则运算法则 （2）y＝－2x. 解　（2）y'＝－2xln2 ＝－2xln2 ＝＋lnx－2xln2. 5.2.2　导数的四则运算法则 3．(1)若函数f(x)＝ax4＋bcos x＋c(a，b，c∈R)满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 (2)若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为________. 解析　(1)由f(x)＝ax4＋bcos x＋c，得f′(x)＝4ax3－bsin x，则f′(x)为奇函数，所以f′(1)＋f′(－1)＝0，所以f′(－1)＝－2. (2)因为f′(x)＝－asin x，所以f′(0)＝0.因为g′(x)＝2x＋b，所以g′(0)＝b，所以b＝0.又g(0)＝1＝m，所以f(0)＝a＝m＝1，所以a＋b＝1. 答案　(1)D　(2)1 1．(多选)(湖北襄阳高二期中)下列求导运算正确的是(　　) A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x))) ′＝1＋ eq \f(3,x2) B．(x2ln x)′＝2x ln x C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,\r(x)))) ′＝ex＋ eq \f(1,2x\r(x)) D．(tan x)′＝ eq \f(1,cos2x) 解析　对于A， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x))) ′＝x′＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x))) ′＝1－ eq \f(3,x2) ，故选项A错误；对于B， (x2ln x)′＝(x2)′ln x＋x2(ln x)′＝2xln x＋x，故选项B错误；对于C， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,\r(x)))) ′＝(ex)′－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x)))) ′＝ex＋ eq \f(1,2x\r(x)) ，故选项C正确；对于D，(tan x)′＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin x,cos x))) ′＝ eq \f(cos2x＋sin2x,cos2x) ＝ eq \f(1,cos2x) ，故选项D正确．故选CD. 答案　CD 2．(陕西渭南大荔阶段性检测)若曲线y＝ln x＋x2的一条切线的斜率为3，则该切线的方程可能为(　　) A．3x－y－1＝0 B．3x－y＋1＝0 C．3x－y－2＝0 D．3x－y－1－ln 2＝0 解析　y′＝ eq \f(1,x) ＋2x，设切点坐标为(x0，y0)，x0＞0，则y′|x＝x0＝ eq \f(1,x0) ＋2x0＝3，所以x0＝ eq \f(1,2) 或x0＝1，所以切点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，ln \f(1,2)＋\f(1,4))) 或(1，1)，故切线方程为y－ (ln eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,4) )＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) 或y－1＝3(x－1)，即3x－y－ eq \f(5,4) －ln 2＝0或3x－y－2＝0.故选C. 答案　C 3．(江苏南京师范大学附属中学期末)函数f(x)＝ eq \f(sin x,sin x＋cos x) ，则f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝________. 解析　由题意得 f′(x)＝ eq \f(cos x（sin x＋cos x）－sin x（cos x－sin x）,（sin x＋cos x）2) ＝ eq \f(1,（sin x＋cos x）2) ， ∴f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4))) ＝ eq \f(1,2) . 答案　 eq \f(1,2) $$