第4章 数列 章末优化提升(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 章末优化提升 [对应学生用书第37页] 点击图片放大 章末优化提升 考点一　等差、等比数列的判定 [例1]　记Sn为数列{an}的前n项和,已知an＞0,a2＝3a1,且数列{}是等差数列,证明：{an}是等差数列. 章末优化提升 [证明]　设数列{}的公差为d（d为常数）. 因为{}是等差数列, 所以当n≥2时,－＝d, 所以d＝－＝－＝－＝. 于是,当n≥2时,an＋1－an＝（Sn＋1－Sn）－（Sn－Sn－1） ＝（＋）（－）－（＋）（－） ＝（＋）－（＋） ＝[（＋）－（＋）] 章末优化提升 ＝[（－）＋（－）]＝2a1, 又2a1为常数,且当n＝1时,a2－a1＝2a1,符合上式, 所以数列{an}是等差数列. 章末优化提升 判定等差（比）数列的方法 （1）定义法；（2）等差（比）中项法；（3）通项公式法. 注：以上的第三种方法只能作为判定方法,而不能作为证明方法. 章末优化提升 1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn＝n－5an－85,n∈N*. （1）证明：{an－1}是等比数列； 解　（1）证明：∵Sn＝n－5an－85, ∴Sn＋1＝（n＋1）－5an＋1－85, 两式相减得an＋1＝1＋5an－5an＋1, 整理得an＋1＝an＋, 章末优化提升 ∴an＋1－1＝（an－1）, 又∵a1＝1－5a1－85,即a1＝－14, ∴a1－1＝－14－1＝－15, ∴数列{an－1}是以－15为首项,为公比的等比数列. 章末优化提升 （2）求数列{an}的通项公式. 解　（2）由（1）可知an－1＝－15×, ∴an＝1－15×. 章末优化提升 考点二　求数列的通项公式 [例2]　已知数列{an}满足an＋1＝,a1＝2,求数列{an}的通项公式. [解]　an＋1＝可化为－＝, ∴－＝,－＝,－＝,…, －＝,n≥2, 将以上n－1个式子相加,得 －＝＋＋＋…＋, 章末优化提升 即＝＋＋…＋. ∴＝＝1－,∴an＝,n≥2. 经验证n＝1时也满足,故an＝. 章末优化提升 　　数列的通项公式是数列的重要内容之一,它把数列各项的性质集于一身.常用的求通项公式的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法. 章末优化提升 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 考点三　数列求和 [例3]　设数列{an}满足a1＝3,an＋1＝3an－4n. （1）计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明； 章末优化提升 [解]　（1）a2＝5,a3＝7. 猜想an＝2n＋1.由已知可得 an＋1－（2n＋3）＝3[an－（2n＋1）], an－（2n＋1）＝3[an－1－（2n－1）], …… a2－5＝3（a1－3）. 因为a1＝3,所以an＝2n＋1. 章末优化提升 （2）求数列{2nan}的前n项和Sn. [解]　（2）由（1）得2nan＝（2n＋1）2n, 所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋（2n＋1）×2n. ① 从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋（2n＋1）×2n＋1. ② ①－②得－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－（2n＋1）×2n＋1. 所以Sn＝（2n－1）2n＋1＋2. 章末优化提升 　　数列的求和问题是数列中的重点问题,要掌握一些简单数列的求和方法,并应用数列求和解决一些数列问题,数列求和常用的方法有：①公式法（即直接应用等差数列、等比数列的求和公式求解）,②倒序相加法,③错位相减法,④裂项相消法,⑤分组转化法（即把数列的第一项分成多个项或把数列的项重新组合,使其转化为等差数列或等比数列,然后由等差数列、等比数列的求和公式求解）. 章末优化提升 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 考点四　等差、等比数列的综合问题 [例4]　已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1＝b1＝1,a5＝5（a4－a3）,b5＝4（b4－b3）. （1）求{an}和{bn}的通项公式； [解]　（1）设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. 由a1＝1,a5＝5（a4－a3）,可得d＝1, 从而{an}的通项公式为an＝n. 由b1＝1,b5＝4（b4－b3）,又q≠0,可得q2－4q＋4＝0, 解得q＝2,从而{bn}的通项公式为bn＝2n－1. 章末优化提升 （2）记{an}的前n项和为Sn,求证：SnSn＋2＜（n∈N*）； [解]　（2）证明：由（1）可得Sn＝,故SnSn＋2＝n（n＋1）（n＋2）（n＋3）,＝（n＋1）2（n＋2）2, 从而SnSn＋2－＝－（n＋1）（n＋2）＜0, 所以SnSn＋2＜（n∈N*）. 章末优化提升 （3）对任意的正整数n,设cn＝求数列{cn}的前2n项和. [解]　（3）当n为奇数时, cn＝＝＝－； 当n为偶数时,cn＝＝. 章末优化提升 c2k＝＝＋＋＋…＋.① 由①得c2k＝＋＋…＋＋.② 对任意的正整数n,有 c2k－1＝＝－1, 章末优化提升 由①②得c2k＝＋＋…＋－ ＝－－, 从而得c2k＝－. 因此,ck＝c2k－1＋c2k＝－－. 所以,数列{cn}的前2n项和为－－. 章末优化提升 　　等差、等比数列是两类基本的数列,两数列相结合的问题经常考查,特别是通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项是命题的热点. 章末优化提升 4.设等比数列{an}满足a1＋a2＝4,a3－a1＝8. （1）求{an}的通项公式. 解　（1）设{an}的公比为q,则an＝a1qn－1. 由已知得解得 所以{an}的通项公式为an＝3n－1. 章末优化提升 （2）记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3,求m. 解　（2）由（1）知log3an＝log33n－1＝n－1, 故数列{log3an}是首项为0,公差为1的等差数列, 故Sn＝. 由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m（m－1）＋（m＋1）m＝（m＋3）（m＋2）, 即m2－5m－6＝0. 结合m∈N*,解得m＝6. 章末优化提升 2．(山东淄博一中高二上期中)(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).求数列{an}的通项公式． (2)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.求数列{an}的通项公式． 解　(1)由2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)，得当n≥2时，2Sn－1＝nan－1， 两式相减，得2an＝(n＋1)an－nan－1， 即(n－1)an＝nan－1. 由题意可知an≠0，所以 eq \f(an,an－1) ＝ eq \f(n,n－1) (n≥2). 当n＝2时，2S2＝3a2，即2(a1＋a2)＝3a2. 又a2＝4，所以a1＝2. 所以an＝ eq \f(an,an－1) × eq \f(an－1,an－2) ×…× eq \f(a3,a2) × eq \f(a2,a1) ×a1 ＝ eq \f(n,n－1) × eq \f(n－1,n－2) ×…× eq \f(3,2) × eq \f(2,1) ×2 ＝2n(n≥2)， 经验证，当n＝1时也符合上式， 所以an＝2n(n∈N*). (2)由题意，得当n＝1时，T1＝2S1－1. 因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1. 当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1. 因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式， 所以Sn＝2an－2n＋1(n∈N*).① 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，② ①－②，得an＝2an－2an－1－2， 所以an＝2an－1＋2(n≥2). 因为an＋2＝2(an－1＋2)， a1＋2＝3≠0， 所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋2＝3×2n－1， 所以an＝3×2n－1－2，n∈N*. 3．(江苏南通如东高二上期末)已知等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2＋S3＝10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)设cn＝bn＋ eq \f(1,Sn) ，求数列{cn}的前2n项和． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d(d＞0)，等比数列{bn}的公比为q. 由a1＝1，b1＝2，b2S2＝12，b2＋S3＝10， 可得2q(2＋d)＝12，2q＋3＋3d＝10， 所以q＝2，d＝1. 则an＝1＋n－1＝n，bn＝2n. (2)由(1)可得Sn＝ eq \f(1,2) n(n＋1)， 故cn＝bn＋ eq \f(1,Sn) ＝2n＋ eq \f(2,n（n＋1）) ＝2n＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))) . 则数列{cn}的前n项和Tn＝(2＋22＋…＋2n) ＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1))) ＝ eq \f(2（1－2n）,1－2) ＋2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1))) ＝2n＋1－ eq \f(2,n＋1) . 故数列{cn}的前2n项和为22n＋1－ eq \f(2,2n＋1) . $$