4.4 数学归纳法(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.4 数学归纳法 [学习任务] 1.了解数学归纳法的原理.（难点、易混点） 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（重点、难点） 4.4　数学归纳法 [对应学生用书第30页] 知识点　数学归纳法 　　一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N*）时命题成立； （2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N*,k≥n0）时命题成立”为条件,推出“当 　n＝k＋1　⁠时命题也成立.” 　　只要完成这两个步骤,就可以断定命题对 　从n0开始　⁠的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法. n＝k ＋1 从n0开始 4.4　数学归纳法 [对应学生用书第30页] 探究一　用数学归纳法证明等式 [例1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N*）. [证明]　（1）当n＝1时,左边＝1×4＝4,右边＝1×22＝4,左边＝右边,等式成立. 4.4　数学归纳法 （2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立,即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2. 那么,当n＝k＋1时,1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2, 即当n＝k＋1时等式也成立. 根据（1）和（2）,可知等式对任何n∈N*都成立. 4.4　数学归纳法 用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时,关键在于先“看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n＝k到n＝k＋1时,等式两边会增加多少项；再“两凑”,将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需的形式——凑结论. 4.4　数学归纳法 1.用数学归纳法证明：1×22＋2×32＋3×42＋…＋n（n＋1）2＝（3n2＋11n＋10）,其中n∈N*. 证明：（1）当n＝1时,左边＝1×22＝4, 右边＝×（3×12＋11×1＋10）＝4, 所以左边＝右边,等式成立. 4.4　数学归纳法 （2）假设当n＝k（k≥1,k∈N*）时,等式成立,即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k（k＋1）2＝（3k2＋11k＋10）, 那么当n＝k＋1时, 1×22＋2×32＋3×42＋…＋k（k＋1）2＋（k＋1）（k＋2）2＝（3k2＋11k＋10）＋（k＋1）（k＋2）2＝（3k＋5）（k＋2）＋（k＋1）（k＋2）2＝（3k2＋5k＋12k＋24）＝[3（k＋1）2＋11（k＋1）＋10].即当n＝k＋1时,等式也成立.综上,对任何n∈N*,等式都成立. 4.4　数学归纳法 探究二　用数学归纳法证明不等式 [例2]　（链接教材第49页例4）求证：＋＋…＋＞（n≥2,n∈N*）. [证明]　（1）当n＝2时, 左边＝＋＋＋＞,不等式成立. 4.4　数学归纳法 （2）假设当n＝k（k≥2,k∈N*）时不等式成立, 即＋＋…＋＞, 则当n＝k＋1时, ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋＞＋＝, 所以当n＝k＋1时不等式也成立. 由（1）（2）可知,原不等式对一切n≥2,n∈N*均成立. 4.4　数学归纳法 　　对于与正整数有关的不等式的证明,如果用其他方法比较困难,此时可考虑使用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式证明的其他方法（如拆、添、并、放、缩）,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设相联系的突破口. 4.4　数学归纳法 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列` 探究三　用数学归纳法证明整除等数学命题 [例3]　用数学归纳法证明：42n＋1＋3n＋2能被13整除,其中n∈N*. [证明]　（1）当n＝1时,42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除. （2）假设当n＝k（k∈N*）时,42k＋1＋3k＋2能被13整除, 则当n＝k＋1时, 42（k＋1）＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·（42k＋1＋3k＋2）. ∵42k＋1·13能被13整除,42k＋1＋3k＋2能被13整除, ∴当n＝k＋1时,42（k＋1）＋1＋3k＋3也能被13整除. 由（1）（2）知,42n＋1＋3n＋2能被13整除对任何n∈N*都成立. 4.4　数学归纳法 用数学归纳法证明整除问题的一般步骤 4.4　数学归纳法 第四章 数列 第四章 数列 探究四　归纳—猜想—证明 [例4]　已知数列{an}的首项a1＝1,且an＋1＝（n＝1,2,3,…）,试猜想出这个数列的通项公式,并用数学归纳法证明. [解]　a1＝1,a2＝,a3＝,a4＝,…,猜想：an＝. 证明如下： （1）当n＝1时,a1＝1,猜想成立；（归纳奠基） 4.4　数学归纳法 （2）假设当n＝k（k∈N*）时,猜想成立, 即ak＝,（归纳假设） 则当n＝k＋1时,ak＋1＝＝＝,（归纳递推） 所以当n＝k＋1时,ak＋1＝,猜想也成立. 综合（1）（2）,可知猜想an＝对于任意n∈N*都成立. 4.4　数学归纳法 “归纳—猜想—证明”的一般步骤 4.4　数学归纳法 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 未应用归纳假设致错 [典例]　求证：12－22＋32－42＋…＋（2n－1）2－（2n）2＝－n（2n＋1）（n∈N*）. [错解]　当n＝1时,左边＝12－22＝－3,右边＝－1×3＝－3,等式成立. 假设当n＝k（k∈N*）时,等式成立, 即12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＝－k（2k＋1）. 4.4　数学归纳法 当n＝k＋1时,12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝（12－22）＋（32－42）＋…＋[（2k－1）2－（2k）2]＋[（2k＋1）2－（2k＋2）2]＝－1－2－3－4－…－（2k－1）－2k－（2k＋1）－（2k＋2）＝－＝－（k＋1）[2（k＋1）＋1],等式成立. 综上所述,等式对任意n∈N*都成立. [错解分析]　造成错误的原因在第二步,它直接求出了当n＝k＋1时式子的和,而没有利用“归纳假设”,这是在用数学归纳法证明时极易犯的错误. 4.4　数学归纳法 [正解]　当n＝1时,左边＝12－22＝－1×3＝－3,右边＝－3,等式成立. 假设当n＝k（k∈N*）时,等式成立,即12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＝－k（2k＋1）. 当n＝k＋1时,12－22＋32－42＋…＋（2k－1）2－（2k）2＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝ －k（2k＋1）＋（2k＋1）2－（2k＋2）2＝－k（2k＋1）－（4k＋3）＝－（2k2＋5k＋3）＝－（k＋1）[2（k＋1）＋1],所以当n＝k＋1时,等式也成立. 综上所述,等式对任意n∈N*都成立. 4.4　数学归纳法 　　数学归纳法的第二步是证明了一个递推关系,即当n＝k时成立,n＝k＋1也成立,因此在证明n＝k＋1成立时,要用上归纳假设才能说明“若n＝k成立,则有n＝k＋1也成立”. 4.4　数学归纳法 [对应学生用书第33页] 1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3,n∈N*）,第一步应验证 （　　） A.当n＝1时,不等式成立 B.当n＝2时,不等式成立 C.当n＝3时,不等式成立 D.当n＝4时,不等式成立 解析　由题意知n的最小值为3,所以第一步应验证当n＝3时,不等式成立,故选C. 答案　C 4.4　数学归纳法 2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n（n∈N*且n＞1）,第一步要证明的不等式是 　　　　　　　　⁠,从n＝k到n＝k＋1时,左端增加了 　　　　⁠项.  解析　当n＝2时,1＋＋＜2.当n＝k时到第2k－1项,当n＝k＋1时到第2k＋1－1项,所以2k＋1－1－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k. 答案　1＋＋＜2　2k ⁠ ⁠ 4.4　数学归纳法 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 2．用数学归纳法证明：1＋ eq \f(n,2) ≤1＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,2n) ≤ eq \f(1,2) ＋n(n∈N*). 证明　(1)当n＝1时，显然成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即1＋ eq \f(k,2) ≤1＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,2k) ≤ eq \f(1,2) ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,2k) ＋ eq \f(1,2k＋1) ＋ eq \f(1,2k＋2) ＋…＋ eq \f(1,2k＋2k) ＞1＋ eq \f(k,2) ＋2k· eq \f(1,2k＋2k) ＝1＋ eq \f(k＋1,2) ， 1＋ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,3) ＋…＋ eq \f(1,2k) ＋ eq \f(1,2k＋1) ＋ eq \f(1,2k＋2) ＋…＋ eq \f(1,2k＋2k) ＜ eq \f(1,2) ＋k＋2k· eq \f(1,2k) ＝ eq \f(1,2) ＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 3．证明：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 证明　(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除， 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9 ＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64， 故f(k＋1)也能被64整除． 由(1)(2)可知，当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除． 4．(山西晋城一中期末)已知数列{an}满足a1＝－ eq \f(2,3) ，an＝－ eq \f(1,an－1＋2) (n≥2，n∈N*). (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法给出证明． 解　(1)a2＝－ eq \f(1,a1＋2) ＝－ eq \f(3,4) ，a3＝－ eq \f(1,a2＋2) ＝－ eq \f(4,5) . (2)猜想数列{an}的通项公式为an＝－ eq \f(n＋1,n＋2) .证明如下： 当n＝1时，a1＝－ eq \f(2,3) ，－ eq \f(n＋1,n＋2) ＝－ eq \f(2,3) ，所以an＝－ eq \f(n＋1,n＋2) 成立； 假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝－ eq \f(k＋1,k＋2) ， 则当n＝k＋1时，ak＋1＝－ eq \f(1,ak＋2) ＝－ eq \f(1,2－\f(k＋1,k＋2)) ＝－ eq \f(k＋2,k＋3) ＝－ eq \f(（k＋1）＋1,（k＋1）＋2) ， ∴n＝k＋1时，猜想也成立． 综上，an＝－ eq \f(n＋1,n＋2) (n∈N*). 则当n＝k＋1时，ak＋1＝－ eq \f(1,ak＋2) ＝－ eq \f(1,2－\f(k＋1,k＋2)) ＝－ eq \f(k＋2,k＋3) ＝－ eq \f(（k＋1）＋1,（k＋1）＋2) ， ∴n＝k＋1时，猜想也成立． 综上，an＝－ eq \f(n＋1,n＋2) (n∈N*). 3．(浙江杭州第二中学期末)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＋anan＋1－an＝0(n∈N*). (1)求a2，a3，a4； (2)试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 解　(1)由an＋1＋anan＋1－an＝0可得an＋1＝ eq \f(an,1＋an) ， 当n＝1时，a2＝ eq \f(a1,1＋a1) ＝ eq \f(1,2) ； 当n＝2时，a3＝ eq \f(a2,1＋a2) ＝ eq \f(1,3) ； 当n＝3时，a4＝ eq \f(a3,1＋a3) ＝ eq \f(1,4) . (2)猜想数列{an}的通项公式为an＝ eq \f(1,n) . 用数学归纳法证明如下： ①当n＝1时，a1＝1，猜想成立． ②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即ak＝ eq \f(1,k) ， 则当n＝k＋1时，有ak＋1＝ eq \f(ak,1＋ak) ＝ eq \f(\f(1,k),1＋\f(1,k)) ＝ eq \f(1,1＋k) ， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 由①②可知，对任意n∈N*，an＝ eq \f(1,n) . $$